Choix des signes pour la formalité

de M. Kontsevich

D. Arnal *, D. Manchon **et M. Masmoudi ***

Abstract : The existence of star products on any Poisson manifold M is a consequence of Kontsevich’s formality theorem, the proof of which is based on an explicit formula giving a formality quasi-isomorphism in the flat case M = ℝ^{d}. We propose here a coherent choice of orientations and signs in order to carry on Kontsevich’s proof in the ℝ^{d} case, i.e. prove that Kontsevich’s formality quasi-isomorphism verifies indeed the formality equation with all the signs precised.

Introduction

La conjecture de formalité a été introduite par M. Kontsevich [K2] : elle affirme l’existence d’un L_{∞}- quasi-isomorphisme de 𝔤_{1} vers 𝔤_{2}, où 𝔤_{1} et 𝔤_{2} sont les deux algèbres de Lie différentielles graduées naturellement associées à une variété M : précisément 𝔤_{1} est l’algèbre de Lie différentielle graduée des multi-champs de vecteurs munie de la différentielle nulle et du crochet de Schouten, et 𝔤_{2} est l’algèbre de Lie différentielle graduée des opérateurs polydifférentiels munie de la différentielle de Hochschild et du crochet de Gerstenhaber.

Les éléments de degré n dans 𝔤_{1} sont les (n + 1)-champs de vecteurs, et les éléments de degré n dans 𝔤_{2} sont les opérateurs (n + 1)-différentiels. Dans les espaces gradués décalés 𝔤_{1}[1] et 𝔤_{2}[1] ce sont les (n + 2)- champs de vecteurs (resp. les opérateurs (n + 2)-différentiels) qui sont de degré n.

Toute algèbre de Lie différentielle graduée est une L_{∞}-algèbre. Cela signifie en particulier que les structures d’algèbres de Lie différentielles graduées sur 𝔤_{1} et 𝔤_{2} induisent des codérivations Q et Q′ de degré 1 sur des cogèbres C(𝔤_{1}) = S^{+}(𝔤_{1}[1]) et C(𝔤_{2}) = S^{+}(𝔤_{2}[1]) respectivement (cf. § II.3 et II.4), vérifiant toutes deux l’équation maîtresse :

[Q, Q] = 0, [Q′, Q′] = 0.

Un L_{∞}-quasi-isomorphisme de 𝔤_{1} vers 𝔤_{2} est par définition un morphisme de cogèbres :

U : C(𝔤_{1}) ⟶ C(𝔤_{2})

de degré zéro et commutant aux codérivations, c’est-à-dire vérifiant l’équation :

U ∘ Q = Q′ ∘ U,

* Université de Metz, Département de Mathématiques, île du Saulcy, 57045 Metz CEDEX 01. arnal@poncelet.univ-

metz.fr ** Institut Elie Cartan, CNRS, BP 239, 54506 Vandœuvre CEDEX. manchon@iecn.u-nancy.fr *** Université de Metz, Département de Mathématiques, île du Saulcy, 57045 Metz CEDEX 01. masmoudi@pon-

celet.univ-metz.fr

et dont la restriction à 𝔤_{1} est un quasi-isomorphisme de complexes de 𝔤_{1} dans 𝔤_{2}. M. Kontsevich démontre dans [K1] la conjecture de formalité, c’est-à-dire l’existence d’un L_{∞}-quasi-isomorphisme de 𝔤_{1} vers 𝔤_{2}, pour toute variété M de classe C^{∞}. La première étape de la preuve (et même l’essentiel du travail) consiste en la construction explicite du L_{∞}-quasi-isomorphisme U pour M = ℝ^{d}. Le L_{∞}-quasi-isomorphisme U est uniquement déterminé par ses coefficients de Taylor :

U_{n} : S^{n}(𝔤_{1}[1]) ⟶ 𝔤_{2}[1].

(cf. § III.2). Si les α_{k} sont des s_{k}-champs de vecteurs, ils sont de degré s_{k} − 2 dans l’espace décalé 𝔤_{1}[1], et donc U_{n}(α_{1} ⋯ α_{n}) est d’ordre s_{1} + ⋯ + s_{n} − 2n dans 𝔤_{2}[1]. C’est donc un opérateur m-différentiel, avec :

∑_{k=1}^{n} s_{k} = 2n + m − 2.  (∗)

Les coefficients de Taylor sont construits à l’aide de poids et de graphes : on désigne par G_{n,m} l’ensemble des graphes étiquetés et orientés ayant n sommets du premier type (sommets aériens) et m sommets du deuxième type (sommets terrestres) tels que : 1). Les arêtes partent toutes des sommets aériens. 2). Le but d’une arête est différent de sa source (il n’y a pas de boucles). 3). Il n’y a pas d’arêtes multiples.

A tout graphe Γ ∈ G_{n,m} muni d’un ordre sur l’ensemble de ses arêtes, et à tout n-uple de multi-champs de vecteurs α_{1}, …, α_{n} on peut associer de manière naturelle un opérateur m-différentiel B_{Γ}(α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{n}) lorsque pour tout j ∈ {1, …, n}, α_{j} est un s_{j}-champ de vecteurs, où s_{j} désigne le nombre d’arêtes qui partent du sommet aérien numéro j [K1 § 6.3].

Le coefficient de Taylor U_{n} est alors donné par la formule :

U_{n}(α_{1} ⋯ α_{n}) = ∑_{Γ∈G_{n,m}} W_{Γ}B_{Γ}(α_{1} ⊗ ⋯ ⊗ α_{n}),

où l’entier m est relié à n et aux α_{j} par la formule (*) ci-dessus.

Le poids W_{Γ} est nul sauf si le nombre d’arêtes |E_{Γ}| du graphe Γ est précisément égal à 2n + m − 2. Il s’obtient en intégrant une forme fermée ω_{Γ} de degré |E_{Γ}| sur une composante connexe de la compactification de Fulton-McPherson d’un espace de configuration C_{A,B}^{+}, qui est précisément de dimension 2n + m − 2 [FM], [K1 § 5]. Il dépend lui aussi d’un ordre sur l’ensemble des arêtes, mais le produit W_{Γ}.B_{Γ} n’en dépend plus.

Pour prouver le théorème de formalité M. Kontsevich montre que le morphisme de cogèbres U dont les coefficients de Taylor sont les U_{n} définis ci-dessus est un L_{∞}-quasi-isomorphisme. La méthode consiste à ramener l’équation de formalité U ∘ Q = Q′ ∘ U, qui se développe à l’aide des coefficients de Taylor de U, Q et Q′ :

Q′_{1}U_{n} (α_{1}.....α_{n}) +\frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ±Q′_{2} (U_{|I|} (α_{I}) .U_{|J|} (α_{J})) =

= ∑_{k=1}^{n} ±U_{n} (Q_{1}(α_{k}).α_{1}.....α̂_{k}.....α_{n}) +

\frac{1}{2} ∑_{k≠l} ±U_{n−1} (Q_{2}(α_{k}.α_{l}).α_{1}.....α̂_{k}.....α̂_{l}.....α_{n})

à l’application de la formule de Stokes pour les formes ω_{Γ} sur l’ensemble des faces de codimension 1 du bord des espaces de configuration.

Nous proposons dans la première partie de ce travail un choix d’orientation des espaces de configuration (ou plus exactement d’une composante connexe de ceux-ci) C_{A,B}^{+}, et un choix cohérent d’orientation pour chacune des faces de codimension 1 du bord de la compactification.

Au chapitre II nous explicitons l’isomorphisme Φ : S^{n}(𝔤[1]) ⟶^{∼} Λ^{n}(𝔤)[n] mentionné dans [K1 § 4.2] pour tout espace vectoriel gradué 𝔤, afin de préciser le passage du langage des algèbres de Lie différentielles graduées et des L_{∞}-algèbres au langage des Q-variétés formelles graduées pointées ([AKSZ], [K1 § 4.1]).

Nous donnons au chapitre III une formule explicite pour un champ de vecteurs sur une variété formelle graduée pointée ou un morphisme de variétés formelles graduées pointées en fonction de leurs coefficients de Taylor respectifs. La démonstration est de nature combinatoire et se fait en explicitant la restriction à la puissance symétrique n-ième par récurrence sur n.

Dans le chapitre IV nous exprimons les deux algèbres de Lie différentielles graduées qui nous intéressent comme Q-variétés formelles graduées pointées. L’isomorphisme d’espaces gradués Φ explicité au chapitre II est ici essentiel. Pour la suite nous sommes amenés à modifier l’algèbre de Lie différentielle graduée des multi-champs de vecteurs : nous utilisons un crochet de Lie gradué [ , ]′ lié au crochet de Schouten par la formule :

[x, y]′ = −[y, x]_{Schouten}.

Les deux crochets coïncident modulo un changement de signe en présence de deux éléments impairs. Nous précisons au paragraphe IV.4 les signes (du type Quillen) qui apparaissent dans l’équation de formalité.

Enfin nous montrons au chapitre VI que modulo tous les choix effectués précédemment U est bien un L_{∞}-morphisme.

Le chapitre V est assez largement indépendant du reste de l’article bien que directement relié à [K1] : nous y donnons une démonstration détaillée du théorème de quasi-inversion des quasi-isomorphismes donné dans [K1 § 4.4-4.5]. Enfin nous rappelons en appendice le lien entre formalité et quantification par déformation.

Nous remercions André Roux, Siddhartha Sahi et Thomas Wegner pour d’utiles discussions et corrections.

I. Orientation des espaces de configuration

I.1. Trois choix de paramétrage

Définition (Espaces de configuration). Soit H le demi-plan de Poincaré (H = {z ∈ ℂ, ℑ𝔪z > 0}). Appelons Conf^{+} ({z_{1}, ..., z_{n}}; {t_{1}, ..., t_{m}}) l’ensemble des nuages de points :

{(z_{1}, ..., z_{n}; t_{1}, .., t_{m}), t. q. z_{i} ∈ H, t_{j} ∈ ℝ, z_{i} ≠ z_{i′} si i ≠ i′, t_{1} < ... < t_{m}}

et C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} le quotient de cette variété sous l’action du groupe G de toutes les transformations de la forme :

z_{i} ↦ az_{i} + b, t_{j} ↦ at_{j} + b (a > 0, b ∈ ℝ).

La variété C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} est donc de dimension 2n + m − 2. Cette variété est par convention orientée par le passage au quotient de la forme :

Ω_{{z_{1},...,z_{n}};{t_{1},...,t_{m}}} = dx_{1} ∧ dy_{1} ∧ ... ∧ dx_{n} ∧ dy_{n} ∧ dt_{1} ∧ ... ∧ dt_{m}

où z_{j} = x_{j} + iy_{j}. Le groupe des transformations considérées préserve l’orientation. On en déduit une orientation des espaces C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+}. Plus précisément, si 2n+m > 0, on peut choisir des représentants pour paramétrer notre espace. Nous considérons trois méthodes :

Choix 1 :

On choisit l’un des z_{i} (disons z_{j_{0}} = x_{j_{0}} + iy_{j_{0}}) et on le place au point i par une transformation de G. Les autres points sont alors fixés :

p_{j_{0}} = i, p_{j} = \frac{z_{j} − x_{j_{0}}}{y_{j_{0}}} , q_{l} = \frac{t_{l} − x_{j_{0}}}{y_{j_{0}}} .

Dans ce cas, on paramètre C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} par les coordonnées des p_{j} = a_{j} + ib_{j} (j ≠ j_{0}) et les q_{l}, l’orientation, dans ces coordonnées de C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} est celle donnée par la forme :

Ω = ⋀_{j≠j_{0}}(da_{j} ∧ db_{j}) ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{m}.

(L’ordre sur les indices j n’importe pas car les 2-formes da_{j} ∧ db_{j} commutent entre elles).

Choix 2 : On choisit l’un des t_{l} (disons t_{l_{0}}) et on le place en 0 par une translation, puis on fait une dilatation pour forcer le module de l’un des z_{j} (disons z_{j_{0}}) à valoir 1 :

p_{j_{0}} = \frac{z_{j_{0}} − t_{l_{0}}}{|z_{j_{0}} − t_{j_{0}}|} = e^{iθ_{j_{0}}} , p_{j} = \frac{z_{j} − t_{l_{0}}}{|z_{j_{0}} − t_{j_{0}}|}, q_{l_{0}} = 0, q_{l} = \frac{t_{l} − t_{l_{0}}}{|z_{j_{0}} − t_{j_{0}}|}.

On paramètre alors C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} par l’argument θ_{j_{0}} de p_{j_{0}} (compris entre 0 et π) et par les coordonnées des p_{j} (j ≠ j_{0}) et les q_{l} (l ≠ l_{0}). L’orientation, dans ces coordonnées de C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} est celle donnée par la forme :

Ω = (−1)^{l_{0}−1}dθ_{j_{0}} ∧ ⋀_{j≠j_{0}}(da_{j} ∧ db_{j}) ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{l_{0}} ∧ ... ∧ dq_{m}.

En effet, on part de la forme Ω du cas 1, avec j_{0} = 1, puisque l’ordre des p n’intervient pas, on place q_{l_{0}} “en tête” :

Ω = (−1)^{l_{0}−1}dq_{l_{0}} ∧ da_{2} ∧ db_{2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{l_{0}} ∧ ... ∧ dq_{l_{1}} ∧ ... ∧ dq_{n},

puis on effectue le changement de variables :

p′_{1} = \frac{i − q_{l_{0}}}{|i − q_{l_{0}}|} = e^{iθ_{1}}, p′_{j} = \frac{p_{j} − q_{l_{0}}}{|i − q_{l_{0}}|} = a′_{j} + ib′_{j} (2 ≤ j ≤ n), q′_{k} = \frac{q_{k} − q_{l_{0}}}{|i − q_{l_{0}}|} (k ≠ l_{0}).

Dont le jacobien _{\frac{1}{(1+q_{l_{0}}^{2} )^{\frac{m+n}{2}}}} est strictement positif, pour obtenir la forme annoncée.

Choix 3 : On choisit deux points t_{l_{0}} < t_{l_{1}}, on amène par une translation le premier en 0 et le second en 1 par une dilatation.

p_{j} = \frac{z_{j} − t_{l_{0}}}{t_{l_{1}} − t_{l_{0}}} , q_{l_{0}} = 0, q_{l_{1}} = 1, q_{l} = \frac{t_{l} − t_{l_{0}}}{t_{l_{1}} − t_{l_{0}}} .

On paramètre C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} par les coordonnées des p_{j} = a_{j} + ib_{j} et par les q_{l} (l ≠ l_{0} et l ≠ l_{1}). l’orientation est donnée par la forme :

Ω = (−1)^{l_{0}+l_{1}+1} ⋀_{j=1}^{n}(da_{j} ∧ db_{j}) ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{l_{0}} ∧ ... ∧ d̂q_{l_{1}} ∧ ... ∧ dq_{m}.

En effet, on part de la forme Ω du cas 1, on place q_{l_{0}} et q_{l_{1}} “en tête” :

Ω = (−1)^{l_{0}−1+l_{1}−2}dq_{l_{0}} ∧ dq_{l_{1}} ∧ da_{2} ∧ db_{2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{l_{0}} ∧ ... ∧ dq_{n},

puis on effectue le changement de variables :

p′_{1} = \frac{i − q_{l_{0}}}{q_{l_{1}} − q_{l_{0}}} = a_{1} + ib_{1}, p′_{j} = \frac{p_{j} − q_{l_{0}}}{q_{l_{1}} − q_{l_{0}}} = a′_{j} + ib′_{j} (2 ≤ j ≤ n), q′k = \frac{q_{k} − q_{l_{0}}}{q_{l_{1}} − q_{l_{0}}} (k ≠ l_{0}, k ≠ l_{1}).

Dont le jacobien \frac{q_{l_{1}} −q_{l_{0}}}{(q_{l_{1}} −q_{l_{0}} )^{1+n+m}} est strictement positif, pour obtenir la forme annoncée.

I.2. Compactification des espaces de configuration

On plonge l’espace de configuration C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} dans une variété compacte de la façon suivante. Chaque fois que l’on prend deux points A et B du nuage de points (z_{j}, \overline{z_{j}}; t_{l}), on leur associe l’angle Arg(B − A), à chaque triplet de points (A, B, C) du nuage, on associe l’élément [A − B, B − C, C − A] de l’espace projectif ℙ^{2}(ℝ) qu’ils définissent. On a ainsi une application :

Φ̃ : Conf^{+}(z_{j}, t_{l}) ⟶ 𝕋^{(2n+m)(2n+m−1)} × (ℙ^{2}(ℝ))^{(2n+m)(2n+m−1)(2n+m−2)} .

Cette application passe au quotient et il n’est pas difficile de montrer que l’on obtient ainsi un plongement

Φ : C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} ⟶ 𝕋^{(2n+m)(2n+m−1)} × (ℙ^{2}(ℝ))^{(2n+m)(2n+m−1)(2n+m−2)} .

On définit la compactification \overline{C_{\{p_{1},...,p_{n}\};\{q_{1},...,q_{m}\}}^{+}} de C_{\{p_{1},...,p_{n}\};\{q_{1},...,q_{m}\}}^{+} comme étant la fermeture dans

𝕋^{(2n+m)(2n+m−1)}×(ℙ^{2}(ℝ))^{(2n+m)(2n+m−1)(2n+m−2)} de Φ (C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+}). On obtient ainsi une variété

à coins et on cherche son bord ∂C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+}. Les points du bord s’obtiennent par une succession de collapses de points du nuage. On retrouve la description de M. Kontsevich à deux détails près : lorsque des points aériens (c’est à dire un ou des p_{j}) se rapprochent de ℝ, il faut distinguer entre quels q_{l} ils arrivent, il y a trop de faces du bord, puisque les faces correspondant au rapprochement de points terrestres (des q_{l}) non contigus est impossible sans que tous les points qui les séparent se rapprochent aussi. En codimension 1, on obtient deux types de faces :

I.2.1. Faces de type 1

Parmi les points aériens, n_{1} points se rapprochent en un point p qui reste aérien. Une telle face existe si n ≥ n_{1} ≥ 2. A la limite, on obtient une variété produit :

F = ∂_{{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} }}C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} = C_{{p_{i_{1}} ,...,i_{n_{1}} }} × C_{{p,p_{1},...,_{p_{i_{1}}},...,_{p_{in_{1}}},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}  (∗)

où l’espace C_{{p_{1},...,p_{n_{1}} }} est le quotient de l’espace Conf(z_{1}, ..., z_{n_{1}}) par l’action du groupe G′ des transformations z_{j} ↦ az_{j} + b (a > 0 et b ∈ ℂ). c’est une varit́é de dimension 2n_{1} − 3 (n_{1} ≥ 2). On la plonge dans un produit de tores et d’espaces projectifs comme pour C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+}. Enfin on l’oriente de la façon suivante; z_{1} est placé en 0 par une translation complexe puis |z_{2}| est normalisé à 1 par une dilatation,

p_{1} = 0, p_{2} = \frac{z_{2} − z_{1}}{|z_{2} − z_{1}|} = e^{iθ_{2}}, p_{j} = \frac{z_{j} − z_{1}}{|z_{2} − z_{1}|} = a_{j} + ib_{j}

et on prend l’orientation définie par la forme :

Ω_{1} = dθ_{2} ∧ ⋀_{j≥3}(da_{j} ∧ db_{j}).

Orientons maintenant la face F. On choisit la forme volume Ω_{1} ∧ Ω_{2} sur le produit (∗) où Ω_{2} est l’une des formes définies ci-dessus pour orienter C_{{p_{j}};{q_{l}}}^{+}. L’orientation de la face à partir de celle de Ω est ±Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Lemme I.2.1. La face F est orientée par Ω_{F} = −Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Démonstration. On a vu que l’on pouvait changer l’ordre des points p_{j} de C_{{p_{j}};{q_{l}}}^{+} sans changer l’orientation. On renumérote les points p_{i_{1}},..., p_{i_{n_{1}}} en p_{1}, p_{2},..., p_{n_{1}}, puis on fixe p_{1} = i :

Ω = ⋀_{j=2}^{n_{1}}(da_{j} ∧ db_{j}) ∧ Ω_{2},

ensuite on change de variables dans le premier facteur en posant :

p′_{2} = e^{iθ_{2}}, p′_{j} = \frac{p_{j}}{|p_{2} − i|} = a′_{j} + ib′_{j} (j = 3, ..., n_{1}).

Lorsque les n_{1} premiers points collapsent, on agrandit le petit nuage qu’ils forment en normalisant la distance qui sépare les 2 premiers à 1. Posons ρ_{2} = |p_{2} − i|. le changement de variable donne pour Ω la forme :

Ω′ = dρ_{2} ∧ dθ_{2} ∧ ⋀_{j≥3}(da′_{j} ∧ db′_{j}) ∧ Ω_{2}.

La face est obtenue lorsque ρ_{2} → 0. Or ρ_{2} > 0, on doit donc l’orienter avec

Ω_{F} = −dθ_{2} ∧ ⋀_{j≥3}(da′_{j} ∧ db′_{j}) ∧ Ω_{2} = −Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

•

I.2.2. Face de type 2

Parmi les points du nuage, n_{1} points aériens et m_{1} points terrestres se rapprochent en un point q terrestre. Une telle face existe si n + m > n_{1} + m_{1} et 2n_{1} + m_{1} ≥ 2. A la limite, on obtient une variété produit :

\begin{aligned}F & = ∂_{\{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} \};\{q_{l+1},...,q_{l+m_{1}} \}}C_{\{p_{1},...,p_{n}\};\{q_{1},...,q_{m}\}}^{+} \\ & = C_{\{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} \};\{q_{l+1},...,q_{l+m_{1}} \}} × C_{\{p_{1},...,_{p_{i_{1}}},...,_{p_{in_{1}}},...,p_{n}\};\{q_{1},...,q_{l},q,q_{l+m_{1}+1},...,q_{m}\}}. \end{aligned}  (∗)

On appelle Ω_{1} et Ω_{2} l’une des formes volumes de chacun des facteurs de ce produit. La forme Ω_{1} ∧ Ω_{2} est une forme volume sur F. On donne l’orientation de F à partir de celle de l’espace de configuration de départ en terme de cette forme.

Lemme I.2.2. Avec nos notations, la face F est orientée par :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Démonstration. Il faut considérer six types de nuages différents :

Sous-cas 1 : n > n_{1} > 0 On suppose que p_{1},..., p_{n_{1}} et q_{l+1}, ..., q_{l+m_{1}} collapsent. On paramètre l’espace C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} par p_{n_{1}+1} = i. La forme d’orientation est :

Ω =(−1)^{lm_{1}}da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n_{1}} ∧ db_{n_{1}} ∧ dq_{l+1} ∧ ... ∧ dq_{l+m_{1}} ⋀
⋀ da_{n_{1}+2} ∧ db_{n_{1}+2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{l} ∧ dq_{l+m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m}.
=(−1)^{lm_{1}+l+m_{1}+1}db_{1} ∧ ... ∧ da_{n_{1}} ∧ db_{n_{1}} ∧ dq_{l+1} ∧ ... ∧ dq_{l+m_{1}} ⋀

⋀ da_{n_{1}+2} ∧ db_{n_{1}+2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{l} ∧ da_{1} ∧ dq_{l+m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m}.

(Certains termes peuvent ne pas apparaître, par exemple si n = n_{1} + 1 ou m = m_{1}). On change de variables en posant :

a_{1} = q, p′_{j} = \frac{p_{j} − a_{1}}{b_{1}} (2 ≤ j ≤ n_{1}), q′_{k} = \frac{q_{k} − a_{1}}{b_{1}} (l + 1 ≤ k ≤ l + m_{1}).

Alors on peut écrire de façon un peu abusive :

Ω = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}+1}db_{1} ⋀ Ω_{1} ∧ Ω_{2}

et puisque b_{1} > 0 et la face F est obtenue pour b_{1} = 0, son orientation est donnée par :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Sous-cas 2 : n = n_{1} > 0 (et donc m ≥ m_{1} + 1) et l > 0

On suppose que p_{1},..., p_{n} et q_{l+1}, ..., q_{l+m_{1}} collapsent. On paramètre l’espace C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} par q_{l} = 0, q_{l+1} = 1. La forme d’orientation est :

\begin{aligned}Ω & = (−1)^{2l+2}da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{l} ∧ d̂q_{l+1} ∧ ... ∧ dq_{m} \\ & = (−1)^{(l−1)(m_{1}−1)}da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{l+2} ∧ ... ∧ dq_{l+m_{1}} ⋀ \\ & ⋀ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{l−1} ∧ dq_{l+m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m} \end{aligned} .

On change de variables en posant :

a_{1} + ib_{1} − 1 = ρ_{1}e^{iθ_{1}} p′_{j} = \frac{p_{j} − 1}{ρ_{1}} (2 ≤ j ≤ n), q′_{k} = \frac{q_{k} − 1}{ρ_{1}} (l + 2 ≤ k ≤ l + m_{1}).

Alors

\begin{aligned}Ω & = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}+1}ρ_{1}^{−(n+m_{1}−5)}dρ_{1} ∧ dθ_{1} ∧ da_{2} ∧ db_{2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{l+2} ∧ ... ∧ dq_{l+m_{1}} ⋀ \\ & ⋀ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{l−1} ∧ dq_{l+m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m} \end{aligned} .

On peut donc écrire de façon un peu abusive :

Ω ≃ (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}+1}dρ_{1} ⋀ Ω_{1} ∧ (−1)^{l−1+l+1−2}Ω_{2}

et puisque ρ_{1} > 0 et la face F est obtenue pour ρ_{1} = 0, son orientation est donnée par :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Sous-cas 3 : n = n_{1} > 0 (et donc m ≥ m_{1} + 1) et l = 0 C’est le même calcul que ci-dessus, on pose q_{m_{1}} = 0, q_{m_{1}+1} = 1, on obtient :

Ω = (−1)^{2m_{1}+2}da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{m_{1}} ∧ d̂q_{m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m}.

On change de variables en posant :

a_{1} + ib_{1} = ρ_{1}e^{iθ_{1}} p′_{j} = \frac{p_{j}}{ρ_{1}} (2 ≤ j ≤ n), q′_{k} = \frac{q_{k}}{ρ_{1}} (1 ≤ k ≤ m_{1} − 1).

Alors

\begin{aligned}Ω & = ρ_{1}dρ_{1} ∧ dθ_{1} ∧ da_{2} ∧ db_{2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{m_{1}−1} ⋀ dq_{m_{1}+2} ∧ ... ∧ dq_{m} \\ & ≃ dρ_{1} ⋀(−1)^{m_{1}−1}Ω_{1} ∧ (−1)^{1−1+2−2}Ω_{2} \end{aligned}

et puisque ρ_{1} > 0 et la face F est obtenue pour ρ_{1} = 0, son orientation est donnée par :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Sous-cas 4 : n ≥ n_{1} = 0 (et donc m_{1} > 1) et l > 0 On suppose que q_{l+1}, ..., q_{l+m_{1}} collapsent. On paramètre l’espace C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} par q_{l} = 0, q_{l+1} = 1. La forme d’orientation est :

\begin{aligned}Ω & = (−1)^{2l+2}da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{l} ∧ d̂q_{l+1} ∧ ... ∧ dq_{m} \\ & = (−1)^{(l−1)(m_{1}−1)}dq_{l+2} ∧ ... ∧ dq_{l+m_{1}} ⋀ \\ & ⋀ da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{l−1} ∧ dq_{l+m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m} \end{aligned} .

On change de variables en posant :

q′_{k} = \frac{q_{k} − q_{l+2}}{q_{l+2} − 1} (l + 3 ≤ k ≤ l + m_{1}).

Alors :

\begin{aligned}Ω & ≃ (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}+1}dq_{l+2} ∧ dq′_{l+3} ∧ ... ∧ dq′_{l+m_{1}} ⋀ \\ & ⋀ da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ dq_{l−1} ∧ dq_{l+m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m} \end{aligned} .

On peut donc écrire de façon un peu abusive :

Ω = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}+1}dq_{l+2} ⋀ Ω_{1} ∧ (−1)^{l−1+l+1−2}Ω_{2}

et puisque q_{l+2} − 1 > 0 et la face F est obtenue pour q_{l+2} − 1 = 0, son orientation est donnée par :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Sous-cas 5 : n ≥ n_{1} = 0 (et donc m_{1} > 1), l = 0 et m_{1} < m

On pose q_{m_{1}} = 0, q_{m_{1}+1} = 1, on obtient :

Ω = (−1)^{2m_{1}+2}da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{1} ∧ ... ∧ d̂q_{m_{1}} ∧ d̂q_{m_{1}+1} ∧ ... ∧ dq_{m}.

On change de variables en posant :

q′_{k} = \frac{q_{k} − q_{m_{1}−1}}{−q_{m_{1}−1}} (1 ≤ k ≤ m_{1} − 2)

Alors :

\begin{aligned}Ω & ≃ dq′_{1} ∧ ... ∧ dq′_{m_{1}−2} ⋀ dq_{m_{1}−1} ⋀ da_{1} ∧ db_{1} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{m_{1}+2} ∧ ... ∧ dq_{m} \\ & = (−1)^{m_{1}}dq_{m_{1}−1} ∧ Ω_{1} ∧ (−1)^{1+2−1}Ω_{2}. \end{aligned}

Maintenant q_{m_{1}−1} < 0 et l’orientation de la face est encore :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+m_{1}+l}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Sous-cas 6 : n ≥ n_{1} = 0 (et donc m_{1} > 1), l = 0 et m_{1} = m et donc n > 0

On pose q_{1} = 0 et p_{1} = e^{iθ_{1}}. La forme Ω est

\begin{aligned}Ω & = dθ_{1} ∧ da_{2} ∧ db_{2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n} ∧ dq_{2} ∧ ... ∧ dq_{m} \\ & = (−1)^{m−1}dq_{2} ∧ ... ∧ dq_{m} ⋀ dθ_{1} ∧ da_{2} ∧ db_{2} ∧ ... ∧ da_{n} ∧ db_{n}. \end{aligned}

On change de variables en posant :

q′_{k} = \frac{q_{k} − q_{2}}{q_{2}} (3 ≤ k ≤ m)

Alors :

Ω ≃ (−1)^{m−1}dq_{2} ∧ (−1)^{1−1+2−2}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Puisque q_{2} > 0 et F apparaît pour q_{2} = 0, l’orientation de la face est encore :

Ω_{F} = (−1)^{lm_{1}+l+m_{1}}Ω_{1} ∧ Ω_{2}.

Tout nuage de point correspondant à une face de type 2 relève d’un de ces six sous-cas. Ceci termine la démonstration du lemme I.2.2.

•

II. Algèbres symétriques et extérieures sur les espaces gradués

II.1. La catégorie des espaces gradués

Un espace vectoriel sur un corps k est gradué s’il est muni d’une ℤ−graduation :

V = ⨁_{n∈ℤ} V_{n}

Le degré d’un élément homogène x sera noté |x|. Un espace gradué sera toujours considéré comme un super-espace vectoriel, la ℤ_{2}−graduation étant déduite de la ℤ−graduation :

V_{+} = ⨁_{n∈ℤ} V_{2n} V_{−} = ⨁_{n∈ℤ} V_{2n+1}

Si V et W sont des espaces gradués, il existe une graduation naturelle sur V ⊕ W, V ⊗ W, Hom_{k}(V, W). Un morphisme d’espaces gradués entre V et W est par définition un élément de degré zéro dans Hom_{k}(V, W).

Une algèbre graduée est un espace gradué B muni d’une structure d’algèbre telle que la multiplication m : B ⊗ B → B est un morphisme d’espaces gradués, c’est-à-dire :

B_{i}B_{j} ⊂ B_{i+j}

On définit de la même manière les notions de B− modules gradués à gauche ou à droite. Si A et B sont deux algèbres graduées, le produit :

\begin{matrix}m_{A⊗B} : A ⊗ B ⊗ A ⊗ B & ⟶ A ⊗ B \\ a ⊗ b ⊗ a′ ⊗ b′ & ⟼ (−1)^{|b||a′|}aa′ ⊗ bb′ \end{matrix}

est associatif et munit A ⊗ B d’une structure d’algèbre graduée. Si M (resp. N) est un A-module (resp. un B-module) gradué à gauche, la même règle des signes (la règle de Koszul) permet de définir une structure de A ⊗ B−module gradué à gauche sur M ⊗ N.

Si A, A′, B, B′ sont des espaces gradués, l’identification de Hom_{k}(A ⊗ B, A′ ⊗ B′) avec Hom_{k}(A, A′) ⊗ Hom_{k}(B, B′) se fait avec la même règle des signes :

(f ⊗ g)(a ⊗ b) = (−1)^{|g||a|}f(a) ⊗ g(b)

Une algèbre graduée est dite commutative si on a :

xy − (−1)^{|x||y|}yx = 0

Une cogèbre graduée C se définit de manière similaire : la comutiplication doit vérifier :

ΔC_{j} ⊂ ∑_{k+l=j} C_{k} ⊗ C_{l}

On définit une structure de cogèbre graduée sur le produit tensoriel de deux cogèbres graduées en appliquant la même règle sur les signes que dans le cas des algèbres.

Une dérivation de degré i dans une algèbre graduée B est un morphisme linéaire d : B → B de degré i tel que :

d(xy) = dx.y + (−1)^{i|x|}x.dy

ce qui s’écrit encore :

dm = m(d ⊗ I + I ⊗ d)

où m désigne la multiplication de l’algèbre (attention à la règle des signes). Une codérivation de degré i dans une cogèbre graduée C est un morphisme linéaire d : C → C de degré i tel que si ΔX = ∑_{(x)} x′ ⊗ x′′ on a :

Δdx = ∑_{(x)} dx′ ⊗ x′′ + (−1)^{i|x′|}x′ ⊗ dx′′

ou encore :

Δd = (d ⊗ I + I ⊗ d)Δ

Enfin une algèbre de Lie graduée est un espace vectoriel gradué 𝔤 muni d’un crochet [., .] tel que : 1) [𝔤_{i}, 𝔤_{j}] ⊂ 𝔤_{i+j}

2) [x, y] = −(−1)^{|x||y|}[y, x]

3) (−1)^{|x||z|}[[x, y], z] + (−1)^{|y||x|}[[y, z], x] + (−1)^{|z||y|}[[z, x], y] = 0

(identité de Jacobi graduée). L’identité de Jacobi graduée s’exprime aussi en disant que ad x = [x, .] est une dérivation (de degré |x|).

Une algèbre de lie graduée est différentielle si elle est munie d’une différentielle d de degré 1 (d : 𝔤 ⟶ 𝔤[1]), telle que :

d^{2} = 0, d ([x, y]) = [dx, y] + (−1)^{1.|x|} [x, dy] .

II.2 La règle de Koszul

La raison profonde qui fait que “la règle des signes marche” est la suivante : la catégorie des espaces vectoriels ℤ_{2}−gradués munie du produit tensoriel ⊗ usuel et des applications :

\begin{matrix}τ_{A,B} : A ⊗ B & ⟶ B ⊗ A \\ a ⊗ b & ⟼ (−1)^{|a||b|}b ⊗ a \end{matrix}

est une catégorie tensorielle tressée, c’est à dire que les tressages τ_{A,B} sont fonctoriels :

A ⊗ B ⟶_{τ_{A,B}} B ⊗ A
f⊗g↓  ^{↓^{g⊗f}}
A′ ⊗ B′ ⟶_{τ_{A′,B′}} B′ ⊗ A′

et vérifient :

τ_{A⊗B,C} = (τ_{A,C} ⊗ I_{B})(I_{A} ⊗ τ_{B,C})

De ces deux propriétés on déduit facilement l’équation de l’hexagone, c’est-à-dire la commutativité du diagramme suivant :

A ⊗ B ⊗ C
↙  ↘
A ⊗ C ⊗ B  B ⊗ A ⊗ C
↓ ↓
C ⊗ A ⊗ B  B ⊗ C ⊗ A
↘  ↙
C ⊗ B ⊗ A

La catégorie tensorielle tressée des espaces ℤ_{2}−gradués peut aussi se voir comme la catégorie des modules sur l’algèbre de Hopf quasi-triangulaire (H_{2}, R) où H_{2} est l’algèbre du groupe ℤ_{2} munie de la multiplication et de la comultiplication usuelle, mais où la R−matrice est non triviale.

Dans cette catégorie le carré des tressages est toujours l’identité (c’est une catégorie tensorielle stricte). On peut faire de même avec des espaces ℤ_{k}−gradués en remplaçant −1 par e^{\frac{2iπ}{k}}. On obtient ainsi la catégorie des espaces vectoriels anyoniques, qui est tressée de manière effective pour k ≥ 3 [M].

II.3. Décalages

Soit V un espace gradué. On pose :

V [1] = V ⊗ k[1]

où k[1] est l’espace gradué tel que k_{n} = {0} pour n ≠ −1 et k_{−1} = k. Autrement dit V [1] et V ont même espace vectoriel sous-jacent, mais le degré d’un élément est baissé d’une unité dans V [1]. On posera en outre :

[n] = [1]^{n}

pour tout entier n.

II.4. Algèbres symétriques et extérieures

L’algèbre symétrique S(V) (resp. l’algèbre extérieure Λ(V)) est définie par :

S(V) = T (V)/ < x ⊗ y − (−1)^{|x||y|}y ⊗ x > resp.Λ(V) = T (V)/ < x ⊗ y + (−1)^{|x||y|}y ⊗ x >

Ce sont des espaces gradués de manière naturelle. La proposition suivante est implicite dans [K1] :

Proposition II.4.1 (symétrisation). Pour tout espace vectoriel gradué V et pour tout n > 0 on a un isomorphisme naturel :

Φ_{n} : S^{n}(V [1]) ˜⟶Λ^{n}(V)[n]

donné par :

Φ_{n}(x_{1}. . . . .x_{n}) = α(x_{1}, …, x_{n})x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n}

où, pour des x_{i} homogènes, α(x_{1}, …, x_{n}) désigne la signature de la permutation “unshuffle” qui range les x_{i} pairs dans V à gauche sans les permuter, et les x_{i} impairs dans V à droite sans les permuter.

Démonstration. Soit I (resp. J) l’ensemble des i tels que x_{i} soit de degré pair (resp. impair), et α(I, J) = α(x_{1}, …, x_{n}) la signature de la permutation-rangement associée. L’isomorphisme Φ_{n} est donné par la restriction à S^{n}(V [1]) de la composition des trois flèches du diagramme ci-dessous (la flèche supérieure est un isomorphisme d’algèbres) :

S(V [1])  ˜ ⟶ S(V [1]_{+}) ⊗ S(V [1]_{−})
x_{1} … x_{n}  ⟼  x_{I} ⊗ x_{J}
↓
Λ(V) ˜ ⟶ Λ(V_{−}) ⊗ Λ(V_{+})
α(I, J)x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{n} ⟼  x_{∧I} ⊗ x_{∧J}

Enfin si les x_{j} sont de degré d_{j} dans V [1], x_{1} … x_{n} est de degré d_{1} + ⋯ + d_{n} dans S^{n}(V [1]), donc de degré d_{1} + ⋯ + d_{n} + n dans S^{n}(V). Φ_{n}(x_{1} … x_{n}) est donc de degré d_{1} + ⋯ + d_{n} + n dans Λ^{n}(V), donc de degré d_{1} + ⋯ + d_{n} dans Λ^{n}(V)[n].

•

Remarque : L’application Φ = ⊕Φ_{n} est un morphisme d’espace vectoriel gradué mais pas d’algèbre. Il est d’ailleurs vain de vouloir chercher un isomorphisme d’algèbres entre S(V [1]) et ⨁ Λ^{n}(V)[n], car deux éléments de parité opposée commutent dans le premier cas, et anticommutent dans le second cas.

II.5. Un exemple : T ens(ℝ^{d})

L’algèbre des tenseurs contravariants totalement antisymétriques est une algèbre naturellement graduée par l’ordre des tenseurs. On aimerait la voir comme l’espace sous-jacent à une algèbre symétrique. Notons donc V l’espace vectoriel X (ℝ^{d}) des champs de vecteurs sur ℝ^{d}, gradué par V = V_{0}. On identifie

T ens_{n} (ℝ^{d}) = ∧^{n}V à S^{n} (V [1]) [−n] par Φ_{n}. Dans la suite, on posera

T_{poly} (ℝ^{d}) = T ens (ℝ^{d}) [1].

III. Variétés formelles graduées

III.1. Variétés formelles

On se place sur le corps des réels ou des complexes. On se donne un voisinage ouvert U de 0 dans ℝ^{d}. Une fonction analytique φ sur U à valeurs dans ℂ est déterminée par son développement de Taylor en 0 :

φ(x) = ∑_{α∈ℕ^{d}} \frac{x^{α}}{α!} (∂^{α}φ)(0)

On établit ainsi une dualité non dégénérée entre les fonctions analytiques sur U et les distributions de support {0}. Plus abstraitement on peut remplacer les fonctions analytiques par les jets d’ordre infini au point 0.

On appelle variété formelle, ou voisinage formel de 0, l’espace \overline{C} des distributions de support \{0\}. La structure d’algèbre commutative sur l’espace des fonctions analytiques sur U détermine une structure de cogèbre cocommutative sur son dual restreint, qui est exactement \overline{C}. La comultiplication est donnée par :

< Δv, φ ⊗ ψ >=< v, φψ > .

Considérant l’espace tangent V à la variété U en 0, on a en fait un isomorphisme de cogèbres entre \overline{C} et S(V), où la comultiplication Δ de S(V) est le morphisme d’algèbres tel que Δ(v) = v ⊗1+1⊗v pour v ∈ V.

On considèrera la version pointée :

C = S^{+}(V) = ⨁_{n≥1} S^{n}(V)

C’est la cogèbre colibre cocommutative sans co-unité construite sur V. C’est aussi le dual restreint de l’algèbre des jets d’ordre infini qui s’annulent en 0. On remarque que Δv = 0 si et seulement si v appartient à V.

Un champ de vecteurs sur la variété formelle pointée est donné par une codérivation Q : C → C (c’est donc un champ de vecteurs qui s’annule en 0). Un morphisme de variétés formelles pointées est donné par un morphisme de cogèbres. Tout morphisme f de variétés pointées induit un morphisme de variétés formelles par transport des distributions de support {0} :

< f_{∗}T, φ >=< T, φ ∘ f >

Or, par propriété universelle des cogèbres cocommutatives colibres, une codérivation Q : S^{+}(V) → S^{+}(V) (resp. un morphisme de cogèbres F : S^{+}(V_{1}) → S^{+}(V_{2})) est entièrement déterminé(e) par sa composition avec la projection sur V (resp. V_{2}), c’est à dire par une suite d’applications :

Q_{n} : S^{n}V ⟶ V (resp. F_{n} : S^{n}V_{1} ⟶ V_{2})

qui sont par définition les coefficients de Taylor du champ de vecteurs Q ou du morphisme F.

III.2. Variétés formelles graduées pointées

On fait la même construction algébrique dans la catégorie des espaces vectoriels gradués : une variété formelle graduée pointée est une cogèbre C isomorphe à S^{+}(V) où V est cette fois-ci un espace gradué. Toutes les notions du § III.1 s’appliquent, à ceci près que l’on peut considérer des champs de vecteurs de différents degrés. Nous allons donner une formule explicite pour un champ de vecteurs ou un morphisme en fonction de ses coefficients de Taylor :

Théorème III.2.1. Soit i un entier, soient V, V_{1}, V_{2} des espaces gradués, et deux suites d’applications linéaires Q_{n} : S^{n}V → V de degré i, F_{n} : S^{n}V_{1} → V_{2} de degré zéro. Alors il existe une unique codérivation Q de degré i de S^{+}(V) et un unique morphisme F : S^{+}(V_{1}) → S^{+}(V_{2}) dont les Q_{n} et les F_{n} sont les coefficients de Taylor respectifs. Q et F sont donnés par les formules explicites :

\begin{aligned}Q(x_{1} … x_{n}) & = ∑_{{I⨿J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{x}(I, J)(Q_{|I|}(x_{I})).x_{J} \\ F(x_{1} … x_{n}) & = ∑_{j≥1} \frac{1}{j!} ∑_{{I_{1}⨿···⨿I_{j} =\{1,...,n\} \atop I_{1},...,I_{j} ≠∅}} ε_{x}(I_{1}, …, I_{j})F_{|I_{1}|}(x_{I_{1}}) ⋯ F_{|I_{j}|}(x_{I_{j}}) \end{aligned}

où ε_{x}(I_{1}, …, I_{j}) désigne la signature de l’effet sur les x_{i} impairs de la permutation-battement associée à la partition (I_{1}, …, I_{j}) de {1, …, n}.

Démonstration. Supposons que tous les coefficients de Taylor de la codérivation Q sont nuls. En particulier Q(x) = 0 pour tout x ∈ V. Supposons que Q(x_{1} … x_{k}) = 0 pour tout k ≤ n Alors :

ΔQ(x_{1} … x_{n+1}) = (Q ⊗ I + I ⊗ Q)Δ(x_{1} … x_{n+1}) = 0,

compte tenu de l’hypothèse de récurrence et de l’expression explicite de Δ(x_{1} … x_{n+1}) :

Δ(x_{1} … x_{n+1}) = ∑_{I⨿J={1,...,n+1}, I,J≠∅} ε_{x}(I, J)x_{I} ⊗ x_{J}

Donc Q(x_{1} … x_{n+1}) ∈ V, donc est nul puisque le n + 1-ème coefficient de Taylor est nul. Le raisonnement est analogue dans le cas d’un morphisme, et montre qu’une codérivation ou un morphisme est entièrement déterminé(e) par ses coefficients de Taylor.

Nous vérifions directement les formules (les vérifications à l’ordre 2 ou 3 sont laissées au lecteur à titre d’exercice).

1. Cas d’une codérivation : On écrit la formule explicite pour Δ(x_{1} … x_{n}) en utilisant la cocommutativité graduée, ce qui permet de ne retenir que la moitié des partitions :

Δ(x_{1} … x_{n}) = (1 + τ) ∑_{K⨿L={1,...,n}, 1∈K, L≠∅} ε_{x}(K, L)x_{K} ⊗ x_{L}

On a donc, en prenant pour Q l’expression explicite du théorème :

ΔQ(x_{1} … x_{n}) = ∑_{I⨿J={1,...,n},I,J≠∅} ε_{x}(I, J)Δ(Q_{|I|}x_{I}.x_{J})
= (1 + τ) ∑_{I⨿J={1,...,n},I,J≠∅} ∑_{K⨿L=J, L≠∅} ε_{x}(I, J)ε_{x_{J}} (K, L)Q_{|I|}(x_{I}).x_{K} ⊗ x_{L}

= (1 + τ) ∑_{I⨿J⨿K={1,...,n}, I,K≠∅} ε_{x}(I, J, K)Q_{|I|}(x_{I}).x_{J} ⊗ x_{K}

Par ailleurs on a :

(Q⊗I + I ⊗ Q)Δ(x_{1} … x_{n}) = (1 + τ) ∑_{L⨿K={1,...,n}, L,K≠∅} ε_{x}(L, K)Q(x_{L}) ⊗ x_{K}
= (1 + τ) ∑_{L⨿K={1,...,n}, L,K≠∅} ε_{x}(L, K) ∑_{I⨿J=L, I,J≠∅} ε_{x_{L}}(I, J)Q_{|I|}(x_{I}).x_{J} ⊗ x_{K}

= (1 + τ) ∑_{I⨿J⨿K={1,...,n}, ,I,J,K≠∅} ε_{x}(I, J, K)Q_{|I|}(x_{I}).x_{J} ⊗ x_{K}

d’où le fait que Q est bien une codérivation.

2. Cas d’un morphisme : le calcul est un peu plus compliqué : on commence par écrire Δ et F de manière redondante, en employant des permutations qui ne sont pas forcément des battements :

\begin{aligned}Δ(x_{1} … x_{n}) & = ∑_{σ∈S_{n}} ∑_{r=1}^{n} \frac{ε_{x}(σ)}{r!(n − r)!}x_{σ_{1}} … x_{σ_{r}} ⊗ x_{σ_{r+1}} … x_{σ_{n}} \\ F(x_{1} … x_{n}) & = ∑_{j≥1} \frac{1}{j!} ∑_{k_{1}+···+k_{j}=n} \frac{1}{k_{1}! … k_{j}!} ∑_{σ∈S_{n}} ε_{x}(σ)F_{k_{1}}(x_{σ_{1}} … x_{σ_{k_{1}}} ) … F_{k_{j}}(x_{...} … x_{σ_{n}}) \end{aligned}

On vérifie directement l’égalité :

ΔF(x_{1} … x_{n}) = (F ⊗ F)Δ(x_{1} … x_{n})

L’écriture par blocs : x_{1} … x_{n} = (x_{1} … x_{k_{1}}) … (x_{k_{1}+···+k_{j−1}+1} … x_{n}) induit par permutation des blocs un plongement du groupe de permutations S_{j} dans S_{n}. On calcule :

ΔF(x_{1} … x_{n}) = ∑_{j≥2} \frac{1}{j!} ∑_{k_{1}+···+k_{j}=n} \frac{1}{k_{1}! … k_{j}!} ∑_{σ∈S_{n}} ε_{x}(σ)Δ(F_{k_{1}}(x_{σ_{1}} … x_{σ_{k_{1}}} ) … F_{k_{j}}(x_{...} … x_{σ_{n}}))

= ∑_{j≥2} \frac{1}{j!} ∑_{k_{1}+···+k_{j}=n} \frac{1}{k_{1}! … k_{j}!} ∑_{σ∈S_{n}} ε_{x}(σ) ∑_{τ∈S_{j}⊂S_{n}}

∑_{r=1}^{j−1} \frac{ε_{σx}(τ)}{r!(j − r)!}F_{k_{τ_{1}}} (...) … F_{k_{τr}} (...) ⊗ F_{k_{τ_{r+1}}} (...) … F_{k_{τ_{j}}} (...)

Dans le dernier membre de l’égalité ci-dessus, chaque terme se trouve répété autant de fois qu’il y a d’éléments dans S_{j}. On a donc :

\begin{aligned}ΔF(x_{1} … x_{n}) & = ∑_{j≥2} ∑_{k_{1}+···+k_{j}=n} \frac{1}{k_{1}! … k_{j}!} ∑_{σ∈S_{n}} ε_{x}(σ) \\ & ∑_{r=1}^{j−1} \frac{1}{r!(j − r)!}F_{k_{1}}(...) … F_{k_{r}}(...) ⊗ F_{k_{r+1}}(...) … F_{k_{j}}(...) \end{aligned}

Par ailleurs, on a :

(F ⊗ F)Δ(x_{1} … x_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} ∑_{r=1}^{n−1} \frac{ε_{x}(σ)}{r!(n − r)!}F(x_{σ_{1}} … x_{σ_{r}}) ⊗ F(x_{σ_{r+1}} … x_{σ_{n}})

= ∑_{σ∈S_{n}} ∑_{r=1}^{n−1} ∑_{α∈S_{r}×S_{n−r}⊂S_{n}} \frac{ε_{x}(σ)ε_{σx}(α)}{r!(n − r)!}

∑_{j,k≥1} \frac{1}{j!k!} ∑_{{r_{1}+···+r_{j} =r \atop s_{1}+···+s_{k}=n−r}} \frac{1}{r_{1}! … r_{j}!s_{1}! … s_{k}!}

F_{r_{1}}(x_{α_{σ_{1}}} … x_{α_{σ_{r1}}} ) … F_{r_{j}}(...) ⊗ F_{s_{1}}(...) … F_{s_{k}}(...x_{α_{σn}})

Dans le dernier membre de l’égalité ci-dessus, chaque terme se trouve répété autant de fois qu’il y a d’éléments dans S_{r} × S_{n−r}. Donc :

\begin{aligned}(F ⊗ F)Δ(x_{1} … x_{n}) & = ∑_{σ∈S_{n}} ∑_{r=1}^{n−1} ε_{x}(σ)\frac{1}{j!k!} ∑_{{r_{1}+···+r_{j} =r \atop s_{1}+···+s_{k}=n−r}} \frac{1}{r_{1}! … r_{j}!s_{1}! … s_{k}!} \\ & F_{r_{1}}(x_{σ_{1}} … x_{σ_{r_{1}}} ) … F_{r_{j}}(...) ⊗ F_{s_{1}}(...) … F_{s_{k}}(...x_{σ_{n}}) \end{aligned}

Posant l = j + k et procédant à la renumérotation (s_{1}, … s_{k}) = (r_{j+1}, … r_{l}) on obtient :

(F ⊗ F)Δ(x_{1} … x_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} ε_{x}(σ) ∑_{l≥2} ∑_{r_{1}+···+r_{l}=n} ∑_{k=1}^{l−1} \frac{1}{k!(l − k)!} \frac{1}{r_{1}! … r_{l}!}
F_{r_{1}}(x_{σ_{1}} … x_{σ_{r1}}) … F_{r_{k}}(...) ⊗ F_{r_{k+1}}(...) … F_{r_{l}}(...x_{σ_{n}})
= ΔF(x_{1} … x_{n})

compte tenu du calcul précédent, ce qui démontre le théorème.

•

IV. L_{∞}-algèbres et L_{∞}-morphismes

A tout espace vectoriel gradué V on associe (attention au décalage!) la variété formelle (V [1], 0) pointée, c’est à dire la cogèbre colibre sans co-unité :

C(V) = S^{+}(V [1]) ˜⟼_{Φ} ∑_{k≥1}(Λ^{k}V)[k]

où Φ est l’isomorphisme décrit au § II.4.

Un pré-L_{∞}-morphisme entre deux espaces gradués V_{1} et V_{2} est par définition un morphisme de variétés formelles, c’est-à-dire un morphisme de cogèbres :

F : C(V_{1}) ⟶ C(V_{2})

qui est donc déterminé par ses coefficients de Taylor F_{j}. Posant \overline{F}_{j} = F_{j} ∘ Φ^{−1} on a :

\overline{F}_{1} : V_{1} ⟶ V_{2}
\overline{F}_{2} : Λ^{2}V_{1} ⟶ V_{2}[−1]
\overline{F}_{3} : Λ^{3}V_{1} ⟶ V_{2}[−2]
⋮

IV.1. Algèbres de Lie homotopiques

Par définition une L_{∞}-algèbre, ou algèbre de Lie homotopique est une variété formelle graduée pointée du type (𝔤[1], 0), où 𝔤 est un espace vectoriel gradué, munie d’un champ de vecteurs Q de degré 1 vérifiant l’équation maîtresse :

[Q, Q] = 2Q^{2} = 0

C’est-à-dire que Q est une codérivation de carré nul de la cogèbre C(𝔤). Les coefficients de Taylor Q_{k} : S^{k}(𝔤[1]) → 𝔤[2] donnent naissance aux coefficients \overline{Q}_{k} = Q_{k} ∘ Φ^{−1} :

\overline{Q}_{1} : 𝔤 ⟶ 𝔤[1]
\overline{Q}_{2} : Λ^{2}𝔤 ⟶ 𝔤
\overline{Q}_{3} : Λ^{3}𝔤 ⟶ 𝔤[−1]
⋮

L’équation maîtresse se traduit par une infinité de relations quadratiques entre les \overline{Q}_{k}, qui s’obtiennent en écrivant explicitement pour tout k l’équation :

πQ^{2}(x_{1} … x_{k}) = 0

où π : C(𝔤) → 𝔤[1] est la projection canonique. On écrit explicitement les trois premières : Première équation : Q_{1}^{2}(x) = 0 pour tout x dans 𝔤. Donc (𝔤, Q_{1}) est un complexe de cochaînes. Deuxième équation : πQ^{2}(x.y) = 0, soit :

Q_{2}(Q_{1}x.y + (−1)^{|x|−1}x.Q_{1}y) + Q_{1}Q_{2}(x.y) = 0.

(Remarque : |x| − 1 est bien le degré de x dans la cogèbre C(𝔤), à cause du décalage). Traduisant cette égalité en termes de \overline{Q}_{1} et \overline{Q}_{2} on obtient (cf § II.4) :

α(\overline{Q}_{1}x, y)\overline{Q}_{2}(\overline{Q}_{1}x ∧ y) + (−1)^{|x|−1}α(x, \overline{Q}_{1}y)\overline{Q}_{2}(x ∧ \overline{Q}_{1}y) + α(x, y)\overline{Q}_{1}\overline{Q}_{2}(x ∧ y) = 0

Compte tenu de l’égalité :

α(x, y) = (−1)^{|x|(|y|−1)}

on obtient :

(−1)^{|y|−1}\overline{Q}_{2}(\overline{Q}_{1}x ∧ y) − \overline{Q}_{2}(x ∧ \overline{Q}_{1}y) + \overline{Q}_{1}\overline{Q}_{2}(x ∧ y) = 0.

Posant dx = (−1)^{|x|}\overline{Q}_{1}x et [x, y] = \overline{Q}_{2}(x ∧ y) on obtient finalement :

d[x, y] = [dx, y] + (−1)^{|x|}[x, dy]

donc \overline{Q}_{2} est un crochet antisymétrique pour lequel d est une dérivation. Remarque : On peut garder \overline{Q}_{1} comme dérivation sans le modifier, à condition d’inverser le sens du crochet, c’est-à-dire de poser :

[x, y] = \overline{Q}_{2}(y ∧ x).

Nous choisirons la première solution. Troisième équation : πQ_{3}(x.y.z) = 0 soit :

Q_{3}(Q_{1}x.y.z + (−1)^{|x|−1}x.Q_{1}y.z + (−1)^{|x|+|y|−2}x.y.Q_{1}z) + Q_{1}Q_{3}(x.y.z)

+Q_{2}(Q_{2}(x.y).z + (−1)^{(|y|−1)(|z|−1)}Q_{2}(x.z).y + (−1)^{(|x|−1)(|y|+|z|−2)}Q_{2}(y.z).x) = 0

soit :

Q_{2}(Q_{2}(x.y).z + (−1)^{(|y|−1)(|z|−1)+(|x|−1)(|z|−1)}Q_{2}(z.x).y

+(−1)^{(|x|−1)(|y|+|z|)}Q_{2}(y.z).x) + termes en Q_{3} = 0

Or on a :

\begin{aligned}Q_{2}(Q_{2}(x.y).z) & = α(Q_{2}(x.y), z)α(x, y)\overline{Q}_{2}(\overline{Q}_{2}(x ∧ y) ∧ z) \\ & = (−1)^{(|x|+|y|)|z|}(−1)^{(|x|−1)|y|}\overline{Q}_{2}(\overline{Q}_{2}(x ∧ y) ∧ z) \end{aligned}

En reportant ceci dans l’équation précédente et en simplifiant par (−1)^{|x||y|+|x||z|+|y||z|} on obtient finalement :

(−1)^{|x||z|}[[x, y], z] + (−1)^{|y||x|}[[y, z], x] + (−1)^{|z||y|}[[z, x], y] + termes en Q_{3} = 0

Autrement dit le crochet fourni par \overline{Q}_{2} vérifie l’identité de Jacobi graduée “à homotopie gouvernée par \overline{Q}_{3} près”. En corollaire :

Théorème IV.1.1. Une algèbre de Lie différentielle graduée est la même chose qu’une L_{∞}-algèbre pour laquelle tous les coefficients de Taylor sont nuls sauf les deux premiers.

IV.2. L’algèbre de Lie différentielle graduée des mutichamps de vecteurs

Sur V = T_{poly} (ℝ^{d}), on dispose du crochet de Schouten défini par :

[ξ_{1} ∧ ... ∧ ξ_{k}, η_{1} ∧ ... ∧ η_{ℓ}]_{S} = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{ℓ}(−1)^{i+j}[ξ_{i}, η_{j}] ∧ ξ_{1} ∧ ... ∧ ξ̂_{i} ∧ ... ∧ ξ_{k} ∧ η_{1} ∧ ... ∧ η̂_{j} ∧ ... ∧ η_{ℓ}.

La symétrisation de T ens (ℝ^{d}) nous permet de définir une opération •. Si α_{1} est un k_{1}-tenseur antisymétrique :

α_{1} = α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{1}} ∧ ∂_{i_{2}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} ∈ T ens^{k_{1}} (ℝ^{d}) ,

alors :

Φ_{k_{1}}^{−1}(α_{1}) = α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ψ_{i_{1}}...ψ_{i_{k_{1}}} ∈ S(X (ℝ^{d}) [1])[−k_{1}]

où chaque ψ_{i} = Φ_{1}^{−1}(∂_{i}) est une variable de degré 1. Si maintenant α_{2} est un k_{2} tenseur antisymétrique, on posera :

α_{1} • α_{2} = Φ_{k_{1}+k_{2}−1} (∑_{i=1}^{d} \frac{∂Φ_{k_{1}}^{−1}(α_{1})}{∂ψ_{i}}.\frac{∂Φ_{k_{2}}^{−1}(α_{2})}{∂x_{i}})

en tenant compte du fait que \frac{∂}{∂ψ_{i}} est un opérateur de dérivation impair.

Lemme IV.2.1 (Calcul de α_{1} • α_{2}). On a :

α_{1} • α_{2} = ∑_{l=1}^{k_{1}}(−1)^{l−1}α_{1}^{i_{1}....i_{k_{1}}} ∂_{l}α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{i_{1}} ∧ ... ∧ ˆ∂_{i_{l}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} ∧ ∂_{j_{1}} ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}}

et

[α_{1}, α_{2}]_{S} = (−1)^{k_{1}−1}α_{1} • α_{2} − (−1)^{k_{1}(k_{2}−1)}α_{2} • α_{1}.

Démonstration. On a :

\begin{aligned}\frac{∂}{∂ψ_{i}} (α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ψ_{i_{1}}.....ψ_{i_{k_{1}}} ) & = ∑_{l=1}^{k_{1}}(−1)^{l−1}α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ψ_{i_{1}}.....\frac{∂ψ_{i_{l}}}{∂ψ_{i}}.....ψ_{i_{k_{1}}} \\ & = ∑_{l=1}^{k_{1}}(−1)^{l−1}δ_{i_{l}}^{i}α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ψ_{i_{1}}.....ψ̂_{i_{l}}.....ψ_{i_{k_{1}}} . \end{aligned}

Donc :

∑_{i=1}^{d} \frac{∂Φ_{k_{1}}^{−1}(α_{1})}{∂ψ_{i}}.\frac{∂Φ_{k_{2}}^{−1}(α_{2})}{∂x_{i}} = ∑_{l=1}^{k_{1}}(−1)^{l−1}α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ψ_{i_{1}}.....ψ̂_{i_{l}}.....ψ_{i_{k_{1}}}.∂_{i_{l}}α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ψ_{j_{1}}.....ψ_{j_{k_{2}}}_{= ∑_{l=1}^{k_{1}}(−1)^{l−1}α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{l}}α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ψ_{i_{1}}.....ψ̂_{i_{l}}.....ψ_{i_{k_{1}}}.ψ_{j_{1}}.....ψ_{j_{k_{2}}} .}

D’autre part :

[α_{1}, α_{2}]_{S} = [α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{1}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} , α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{j_{1}} ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}} ]
= [α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{1}}, α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{j_{1}}] ∧ ∂_{i_{2}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} ∧ ∂_{j_{1}} ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}} +

+ ∑_{l=2}^{k_{2}}(−1)^{1+l}[α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{1}}, ∂_{j_{l}}] ∧ ∂_{i_{2}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} ∧ α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{j_{1}} ∧ ... ∧ ˆ∂_{j_{l}} ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}} +

+ ∑_{l=2}^{k_{1}} [∂_{i_{l}}, α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{j_{1}}] ∧ α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{1}} ∧ ... ∧ ˆ∂_{i_{l}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} ∧ ∂_{j_{2}} ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}}

= − ∑_{l=1}^{k_{2}}(−1)^{l+1}α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{j_{l}}α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{1}} ∧ ... ∧ ∂_{i_{k_{1}}} ∧ ∂_{j_{1}} ∧ ... ∧ ˆ∂_{j_{l}} ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}} +

+ ∑_{l=1}^{k_{1}}(−1)^{l+1}α_{1}^{i_{1}...i_{k_{1}}} ∂_{i_{l}}α_{2}^{j_{1}...j_{k_{2}}} ∂_{j_{1}} ∧ ∂_{i_{1}} ∧ ... ∧ ˆ∂_{i_{l}} ∧ ...∂_{i_{k_{1}}} ∧ ∂_{j_{2}} ∧ ... ∧ ... ∧ ∂_{j_{k_{2}}}

= (−1)^{k_{1}−1}α_{1} • α_{2} − (−1)^{(k_{2}−1)k_{1}}α_{2} • α_{1}.

Corollaire IV.2.2. L’espace gradué T_{poly} (ℝ^{d}), muni du crochet :

[α_{1}, α_{2}]′_{S} = − [α_{2}, α_{1}]_{S}

est aussi une algèbre de Lie graduée et :

[α_{1}, α_{2}]′_{S} = (−1)^{(k_{1}−1)k_{2}}α_{1} • α_{2} + (−1)^{k_{2}}α_{2} • α_{1}.

Comme [ , ]′_{S} définit sur T_{poly} (ℝ^{d}) une structure d’algèbre de Lie graduée, on aura, en prenant d = 0, une structure de L_{∞} algèbre sur C (T_{poly} (ℝ^{d})). Le champ de vecteurs Q est caractérisé par :

\begin{aligned}Q_{1} = 0, Q_{2}(α_{1}.α_{2}) & = (−1)^{(k_{1}−1)k_{2}} [α_{1}, α_{2}]′_{S} \\ & = α_{1} • α_{2} + (−1)^{k_{1}k_{2}}α_{2} • α_{1}. \end{aligned}

IV.3. L’algèbre de Lie différentielle graduée des opérateurs polydifférentiels

On considère l’espace vectoriel V′ = D_{poly} (ℝ^{d}) des (combinaisons linéaires d’) opérateurs multidifférentiels gradué par |A| = m − 1 si A est m-différentiel. Sur D_{poly} (ℝ^{d}), l’opérateur de composition naturel ∘ s’écrit :

\begin{aligned}(A_{1} ∘ A_{2}) & (f_{1}, ..., f_{m_{1}+m_{2}−1}) = \\ & = ∑_{j=1}^{m_{1}}(−1)^{(m_{2}−1)(j−1)}A_{1} (f_{1}, ..., f_{j−1}, A_{2} (f_{j}, ..., f_{j+m_{2}−1}) , f_{j+m_{2}}, ..., f_{m1+m_{2}−1}) . \end{aligned}

On associe à cette composition d’une part le crochet de Gerstenhaber :

[A_{1}, A_{2}]_{G} = A_{1} ∘ A_{2} − (−1)^{|A_{1}||A_{2}|}A_{2} ∘ A_{1},

d’autre part l’opérateur de cobord :

dA = − [μ, A]

où μ est la multiplication des fonctions : μ(f_{1}, f_{2}) = f_{1}f_{2}. Remarque : Avec ce choix de d, (D_{poly} (ℝ^{d}) , [ , ]_{G}, d) est une algèbre de Lie graduée différentielle, on vérifie en effet que d ∘ d = 0 et

d ([A_{1}, A_{2}]) = [dA_{1}, A_{2}] + (−1)^{|A_{1}|}[A_{1}, dA_{2}].

L’opérateur de cobord de Hochschild usuel d_{H} donné par :

\begin{aligned}(d_{H}A) (f_{1}, ..., f_{m}) & = f_{1}A(f_{2}, ..., f_{m}) − A(f_{1}f_{2}, f_{3}, ..., f_{m}) + ... + (−1)^{m}A(f_{1}, ..., f_{m−1})f_{m} \\ & = (−1)^{|A|+1}dA(f_{1}, ..., f_{m}) \end{aligned}

n’est pas une dérivation de l’algèbre de Lie graduée (D_{poly} (ℝ^{d}) , [ , ]_{G}). Le champ de vecteurs Q′ sur la variété formelle C(V′) sera donc défini par :

Q′_{1}(A) = (−1)^{|A|}dA = (−1)^{|A|+1} [μ, A] = [A, μ] = −d_{H}A

et

\begin{aligned}Q′_{2} (A_{1}.A_{2}) & = (−1)^{|A_{1}|(|A_{2}|−1)} [A_{1}, A_{2}]_{G} \\ & = (−1)^{|A_{1}|(|A_{2}|−1)}A_{1} ∘ A_{2} − (−1)^{|A_{1}|}A_{2} ∘ A_{1}. \end{aligned}

IV.4. L_{∞}-morphismes

Par définition un L_{∞}-morphisme entre deux L_{∞}-algèbres (𝔤_{1}, Q) et (𝔤_{2}, Q′) est un morphisme de variétés formelles pointées :

F : C(𝔤_{1}) ⟶ C(𝔤_{2})

vérifiant :

FQ = Q′F

Cette équation induit une infinité de relations entre les coefficients de Taylor de Q, Q′ et F, dont nous allons examiner les deux premières : Première équation : Q′_{1}F_{1}(x) = F_{1}Q_{1}(x), c’est-à-dire que F_{1} est un morphisme de complexes. Deuxième équation : πQ′F(x.y) = πFQ(x.y) soit :

πQ′(F_{1}x.F_{1}y + F_{2}(x.y)) = πF(Q_{1}x.y + (−1)^{(|x|−1)}x.Q_{1}y + Q_{2}(x.y))

soit encore :

Q′_{2}(F_{1}x.F_{1}y) + Q′_{1}F_{2}(x.y) = F_{2}(Q_{1}x.y + (−1)^{|x|−1}x.Q_{1}y) + F_{1}Q_{2}(x.y).

On traduit cette dernière égalité en termes de \overline{Q}_{1}, \overline{Q}_{2}, \overline{F}_{1}, etc. :

(−1)^{|x|(|y|−1)}[\overline{F}_{1}x, \overline{F}_{1}y] + (−1)^{|x|+|y|−1+|x|(|y|−1)}d\overline{F}_{2}(x ∧ y)

= (−1)^{(|x|−1)(|y|−1)+|x|}\overline{F}_{2}(dx ∧ y) + (−1)^{|x||y|+|x|−1+|y|}\overline{F}_{2}(x ∧ dy) + (−1)^{|x|(|y|−1)}\overline{F}_{1}([x, y])

soit, en multipliant par (−1)^{|x|(|y|−1)} :

\overline{F}_{1}([x, y]) − [\overline{F}_{1}x, \overline{F}_{1}y] = (−1)^{|x|+|y|−1}(d\overline{F}_{2}(x ∧ y) − \overline{F}_{2}(dx ∧ y) − (−1)^{|x|}\overline{F}_{2}(x ∧ dy)).

Dans le cas où 𝔤_{1} et 𝔤_{2} sont des algèbres de Lie différentielles graduées, F_{1} n’est donc pas forcément un morphisme d’algèbres de lie différentielles graduées, mais le défaut est gouverné par le coefficient suivant, c’est-à-dire F_{2}.

Proposition IV.4.1 (Equation de L_{∞}-morphisme dans le cas des algèbres de Lie différentielles graduées). Supposons que (V, [ , ], d) et (V′, [ , ]′, d′) soient deux algèbres de Lie graduées. Notons (C(V), Q) et (C(V′), Q′) les L_{∞} algèbres correspondantes respectives. Soit F : C(V) ⟶ C(V′) un morphisme de cogèbre. Alors F est un L_{∞} morphisme si et seulement si :

Q′_{1}F_{n} (α_{1}.....α_{n}) +\frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{α}(I, J)Q′_{2} (F_{|I|} (α_{I}) .F_{|J|} (α_{J})) =

= ∑_{k=1}^{n} ε_{α}(k, 1, ...k̂, ..., n)F_{n} (Q_{1}(α_{k}).α_{1}.....α̂_{k}.....α_{n}) +

+ \frac{1}{2} ∑_{k≠l} ε_{α}(k, l, 1, ..., k̂, l, ..., n)F_{n−1} (Q_{2}(α_{k}.α_{l}).α_{1}.....α̂_{k}.....α̂_{l}.....α_{n})

où |I| et ε_{α}(I, J) ont la même signification que dans le théorème III.2.1, et où ε_{α}(...) désigne le signe de Quillen de la permutation indiquée entre parenthèses, c’est-à-dire la signature de la trace sur les α_{j} impairs de cette permutation.

Comme pour les codérivations Q et les morphismes de cogèbres F, il est facile de voir que les applications Q′F et FQ sont uniquement déterminées par leur composition avec la projection sur V′[1]. On déduit alors l’équation de L_{∞}-morphisme sous la forme (Q′F)_{n} = (FQ)_{n} pour tout n. Puisqu’on est parti de deux algèbres de Lie différentielles graduées, tous les Q_{p} et Q′_{p} sont nuls pour p ≥ 3.

V. Quasi-isomorphismes

Par définition un quasi-isomorphisme entre deux L_{∞}-algèbres (𝔤_{1}, Q_{1}) et (𝔤_{2}, Q_{2}) est un L_{∞}-morphisme F dont le premier coefficient de Taylor F_{1} : 𝔤_{1}[1] → 𝔤_{2}[1] est un morphisme de complexes qui induit un isomorphisme en cohomologie (quasi-isomorphisme de complexes). Nous allons exposer la démonstration du théorème suivant ([K1] theorem 4.4) :

Théorème V.1. Pour tout quasi-isomorphisme F d’une L_{∞}-algèbre (𝔤_{1}, Q_{1}) vers une L_{∞}-algèbre (𝔤_{2}, Q_{2}) il existe un L_{∞}- morphisme G de (𝔤_{2}, Q_{2}) vers (𝔤_{1}, Q_{1}) dont le premier coefficient de Taylor G_{1} : 𝔤_{2}[1] → 𝔤_{1}[1] soit un quasi-inverse pour F_{1}.

V.1. Décomposition des L_{∞}-algèbres

Une L_{∞}-algèbre (𝔤, Q) est minimale si Q_{1} = 0. Une L_{∞}-algèbre est linéaire contractile si Q_{j} = 0 pour j ≥ 2 et si la cohomologie du complexe donné par Q_{1} est triviale. On remarque que la première notion est invariante par L_{∞}-isomorphismes, contrairement à la seconde notion.

Proposition V.2. Toute L_{∞}-algèbre (𝔤, Q) est L_{∞}-isomorphe à la somme directe d’une L_{∞}-algèbre minimale et d’une L_{∞}- algèbre linéaire contractile.

Démonstration. On décompose le complexe (𝔤, Q_{1}) en somme directe (𝔤′, M_{1}) ⊕ (𝔤′′, L_{1}) où M_{1} est une différentielle nulle et où (𝔤′′, L_{1}) est un complexe à cohomologie triviale (on néglige le décalage qui n’est pas essentiel ici). Pour ce faire on note comme d’habitude Z_{k} et B_{k} le noyau et l’image de la différentielle en degré k, on choisit un supplémentaire 𝔤′_{k} de B_{k} dans Z_{k}, et un supplémentaire W_{k} de Z_{k} dans 𝔤_{k}. Posant alors 𝔤′′_{k} = B_{k} ⊕ W_{k} on a la décomposition cherchée.

Cette décomposition du complexe est le point de départ de la décomposition de la l_{∞}-algèbre (𝔤, Q). La cogèbre associée à 𝔤 = 𝔤′ ⊕ 𝔤′′ s’écrit :

C(𝔤) = C(𝔤′) ⊕ C(𝔤′′) ⊕ C(𝔤′) ⊗ C(𝔤′′).

Il s’agit de construire un isomorphisme de cogèbres :

F : C(𝔤) ˜⟶C(𝔤)

tel que F ∘ Q = \overline{Q} ∘ F, avec :

\overline{Q}|_{C(𝔤′)} = M
\overline{Q}|_{C(𝔤′′)} = L
\overline{Q}|_{C(𝔤′)⊗C(𝔤′′)} = M ⊗ I + I ⊗ L

où M_{1} = 0, L_{j} = 0 pour j ≥ 2 et L_{1} à cohomologie triviale. On pose donc pour commencer F_{1} = Id : 𝔤 → 𝔤, d’où forcément \overline{Q}_{1} = Q_{1} = L_{1} au vu de la décomposition du complexe rappelée ci-dessus. Il est très facile de voir qu’un L_{∞}-morphisme F vérifiant F_{1} = Id s’écrit comme un produit infini :

F = ⋯ F^{k}F^{k−1} ⋯ F^{2}

où F^{k} est le L_{∞}-morphisme ayant l’identité comme premier coefficient de Taylor, F_{k} comme k^{ième} coefficient de Taylor, tous les autres coefficients étant nuls.

Chercher le coefficient F_{k} en supposant que les F_{j} sont connus pour j < k, c’est donc chercher un L_{∞}-isomorphisme F “lacunaire” comme le F^{k} ci-dessus, entre (𝔤′ ⊕ 𝔤′′, Q) et (𝔤′ ⊕ 𝔤′′, \overline{Q}), où le champ de vecteurs impair Q vérifie :

Q_{1}|_{C(𝔤′)} = 0
Q_{j}(C(𝔤′)) ⊂ 𝔤′ pour j ≤ k − 1
Q_{j}(C(𝔤′′)) = 0 pour 2 ≤ j ≤ k − 1
Q_{j}(C(𝔤′) ⊗ C(𝔤′′)) = 0 pour j ≤ k − 1

et où le champ de vecteurs \overline{Q} vérifie les mêmes conditions avec k à la place de k −1. On supposera également que les coefficients de Taylor de Q et \overline{Q} sont les mêmes jusqu’à l’ordre k − 1 et sont nuls à partir de l’ordre k + 1. Il s’agit donc simplement de trouver F_{k} et \overline{Q}_{k}.

La condition F ∘ Q = \overline{Q} ∘ F s’écrit, en négligeant les signes provenant de la supersymétrie :

(∗)  F_{k}(Q_{1}(x_{1} ⋯ x_{k})) + Q_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) = Q_{1}F_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) + \overline{Q}_{k}(x_{1} ⋯ x_{k})

où l’on a désigné par la même lettre Q_{1} la dérivation de l’algèbre S(𝔤[1]) valant Q_{1} sur 𝔤[1]. 1). Si tous les x_{j}, j = 1 ⋯ k sont dans le noyau Z de Q_{1}, l’équation (∗) se réduit à :

(∗)_{1}  Q_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) = Q_{1}F_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) + \overline{Q}_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}).

On choisit donc \overline{Q}_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) comme étant la projection de Q_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) sur le supplémentaire 𝔤′ de B dans Z. Ceci permet de définir F_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) à un élément z de Z près.

De plus si x_{1} = Q_{1}y_{1} ∈ B, l’équation maîtresse [Q, Q] = 0 s’écrit (toujours en négligeant les problèmes de signes) :

Q_{k}(Q_{1}y_{1}.x_{2} ⋯ x_{k}) + termes intermédiaires + Q_{1}Q_{k}(y_{1}.x_{2} ⋯ x_{k}) = 0.

Les termes intermédiaires sont une somme de termes du type :

Q_{j}(⋯ Q_{l}(⋯) ⋯), j, l < k.

L’élément Q_{1}y_{1} se trouve dans une parenthèse intérieure ou dans la parenthèse extérieure. Dans les deux cas l’hypothèse de départ sur Q entraîne l’annulation de ce terme. On a donc :

Q_{k}(Q_{1}y_{1}.x_{2} ⋯ x_{k}) = −Q_{1}Q_{k}(y_{1}.x_{2} ⋯ x_{k}),

ce qui montre que \overline{Q}_{k}(Q_{1}y_{1}.x_{2} ⋯ x_{k}) = 0.

2). Soit x ∈ S^{k}(𝔤[1]), avec k ≥ 2. On dit que x est de type j, 0 ≤ j ≤ k, si x s’écrit x_{1} ⋯ x_{k} avec x_{1}, …, x_{j} ∈ W et x_{j+1}, …, x_{k} ∈ Z. Nous allons déterminer F_{k}(x) par récurrence (finie) sur le type de x, le type 0 ayant été traité au 1). On remarque que \overline{Q}_{k}(x) = 0 si le type de x est non nul.

L’équation [Q, Q] = 0 s’écrit :

Q_{k}(Q_{1}(x_{1} ⋯ x_{k})) + Q_{1}Q_{k}(x_{1} ⋯ x_{k}) = 0,

les termes intermédiaires s’annulant pour la même raison que dans le 1). On a donc :

(M)  Q_{1}Q_{k}(x) + Q_{k}Q_{1}(x) = 0

pour tout x ∈ S^{k}(𝔤[1]).

Soit r ≥ 1. Supposons que F_{k}(x) soit déterminé pour tout x de type j ≤ r − 2, et déterminé à un z ∈ Z près pour tout x de type r − 1. Soit alors x de type r. On veut déterminer F_{k}(x) à un élément z′ ∈ Z près et préciser F_{k}(y) pour tous les y de type r − 1.

L’équation (∗) appliquée à Q_{1}(x) s’écrit :

F_{k}Q_{1}^{2}(x) + Q_{k}Q_{1}(x) = Q_{1}F_{k}Q_{1}(x)

le terme \overline{Q}_{k}Q_{1}(x) étant nul. En reportant (M) dans cette équation on a donc :

Q_{1}F_{k}Q_{1}(x) + Q_{1}Q_{k}(x) = 0,

d’où :

F_{k}Q_{1}(x) + Q_{k}(x) ∈ Z.

Comme F_{k}Q_{1}(x) est déterminé à un élément arbitraire de Z près, on peut s’arranger pour que :

F_{k}Q_{1}(x) + Q_{k}(x) = b(x)

où b(x) appartient à B. L’équation (∗) appliquée à x s’écrivant :

F_{k}Q_{1}(x) + Q_{k}(x) = Q_{1}F_{k}(x)

le choix d’un b(x) nous permet de choisir F_{k}(x) à un élément z′ ∈ Z près. Le b(x) doit obéir à la contrainte suivante : si Q_{1}(x) = 0, alors b(x) = Q_{k}(x). Supposons que x = Q_{1}y où y est de type r + 1. Alors, compte tenu de (M) la contrainte sur b s’écrit :

b(x) = −Q_{1}Q_{k}(y).

Ayant choisi un b(x) pour tout x de type r satisfaisant à la contrainte ci-dessus, on peut alors choisir F_{k}(x) à un élément z′ ∈ Z près. Il reste donc simplement à démontrer le lemme ci-dessous :

Lemme V.3. Soit x de type r ≥ 1. Alors si Q_{1}x = 0 il existe un y de type r + 1 tel que x = Q_{1}y.

Démonstration. On considère l’application δ : 𝔤 → 𝔤 de degré −1 définie par δ(x) = 0 pour x ∈ 𝔤′ ⊕ W, et δ(Q_{1}x) = x pour tout x dans 𝔤. On a alors :

Q_{1}δ + δQ_{1} = Id −p,

où p est la projection sur 𝔤′ parallèlement à 𝔤′′ (autrement dit δ est une homotopie entre les deux endomorphismes de complexes Id et p).

Le lemme V.3 est un corollaire du résultat suivant, dû à Quillen [Q appendix B] :

Proposition V.4. 1). La dérivation Q_{1} de l’algèbre symétrique S(𝔤) vérifie :

Q_{1}^{2} = 0.

2). La cohomologie du complexe (S(𝔤), Q_{1}) est isomorphe à S(𝔤′), et un supplémentaire de l’image de Q_{1} dans le noyau de Q_{1} est donné par S(𝔤′) ⊗ 1 moyennant l’identification : S(𝔤) = S(𝔤′) ⊗ S(𝔤′′).

Démonstration. 1). Comme Q_{1} est impaire, Q_{1}^{2} = \frac{1}{2}[Q_{1}, Q_{1}] est encore une dérivation de S(𝔤). Comme Q_{1}^{2}|_{𝔤} = 0 cette dérivation est nulle. 2). On a : Q_{1}(v′v′′) = v′Q_{1}(v′′) pour v′ ∈ S(𝔤′) et v′′ ∈ S(𝔤′′). On est ramené au cas où la cohomologie de 𝔤 est triviale. On prolonge alors l’homotopie δ ci-dessus en une dérivation de S(𝔤). On pose alors :

E = [Q_{1}, δ] = Q_{1}δ + δQ_{1}.

E est une dérivation telle que E|_{𝔤} = Id. On en déduit :

E(x) = kx

pour tout x ∈ S^{k}(𝔤). Si maintenant x appartient à S^{k}(𝔤) et Q_{1}x = 0, alors Ex = Q_{1}δx = kx. Si k ≥ 1 on a donc :

x = Q_{1}(\frac{1}{k} δx).

La cohomologie de S(𝔤) est donc réduite au corps de base, qui est S({0}).

•

Fin de la démonstration du lemme V.3 : le complexe V = S(𝔤) admet à son tour une décomposition :

V = V′ ⊕ V′′

avec V′ = S(𝔤′) ⊗ 1. L’image de Q_{1} dans S(𝔤) est l’idéal engendré par B = Q_{1}(𝔤). On peut donc choisir pour V′′ l’idéal engendré par 𝔤′′. Le lemme provient alors du fait que tout élément de type r ≥ 1 appartient à cet idéal, sur lequel la cohomologie est triviale.

•

V.2. Démonstration du théorème V.1

On se donne deux L_{∞}-algèbres (𝔤_{1}, Q_{1}) et (𝔤_{2}, Q_{2}) et un quasi-isomorphisme F de (𝔤_{1}, Q_{1}) vers (𝔤_{2}, Q_{2}). Appliquant la proposition V.2 à ces deux L_{∞}-algèbres on a le diagramme suivant, dans lequel toutes les flèches sont des quasi-isomorphismes :

C(𝔤′_{1}) ⟶_{i} C(𝔤′_{1} ⊕ 𝔤′′_{1}) ˜⟶C(𝔤_{1}) ⟶_{F} C(𝔤_{2}) ˜⟶C(𝔤′_{2} ⊕ 𝔤′′_{2}) ⟶_{p} C(𝔤′_{2}).

On a ainsi construit un quasi-isomorphisme F′ entre deux L_{∞}-algèbres minimales. Son premier coefficient F′_{1} : 𝔤′_{1} → 𝔤′_{2} étant inversible, F′ lui-même est inversible. L’ajout du quasi-isomorphisme F′^{−1} dans le diagramme ci-dessus permet alors la construction d’un quasi-isomorphisme :

G : C(𝔤_{2}) ⟶ C(𝔤_{1})

qui est un quasi-inverse pour F.

•

VI. La formalité de Kontsevich

Un L_{∞} morphisme entre T_{poly} (ℝ^{d}) et D_{poly} (ℝ^{d}) qui soit aussi un quasi-isomorphisme c’est à dire un isomorphisme en cohomologie est une formalité. M. Kontsevich a proposé dans [K1] une formalité U explicite. Précisément, les applications U_{n} sont donnés par :

U_{n} = ∑_{m≥0} ∑_{Γ⃗∈G_{n,m}} wΓ⃗BΓ⃗

où G_{n,m} est l’ensemble des graphes orientés admissibles à n sommets aériens p_{1},...,p_{n} et m sommets terrestres q_{1},...,q_{m} : de chaque sommet aérien est issu k_{1},..., k_{n} flèches aboutissant soit à un autre sommet aérien soit à un sommet terrestre. On ordonne les sommets aériens et terrestres du graphe et on oriente le graphe en ordonnant les flèches de façon compatible avec cet ordre, les flèches issues du sommet p_{j} ont les numéros k_{1} + ... + k_{j−1} + 1,..., k_{1} + ... + k_{j}. On les note :

Star(p_{j}) = \{\overrightarrow{p_{j}a_{1}}, ..., \overrightarrow{p_{j}a_{k_{j}}}\} \overrightarrow{v}_{k_{1}+...+k_{j−1}+i} = \overrightarrow{p_{j}a_{i}}.

Si Γ⃗ est un graphe orienté, son poids wΓ⃗ est par définition l’intégrale sur l’espace de configuration C_{{p_{1},...,p_{n}},{q_{1},...,q_{m}}}^{+} de la forme :

ωΓ⃗ = \frac{1}{(2π)^{∑ k_{i}}k_{1}!...k_{n}!}dΦ\overrightarrow{v}_{1} ∧ ... ∧ dΦ\overrightarrow{v}_{k_{1}+...+kn} où Φ\overrightarrow{p_{j}a} = Arg (\frac{a − p_{j}}{a − \overline{p_{j}}} ) .

Enfin BΓ⃗ est un opérateur m-différentiel, nul sur α_{1}.....α_{n} sauf si α_{1} est un k_{1}-tenseur, α_{2} un k_{2}-tenseur,..., α_{n} un k_{n}-tenseur, auquel cas, on a :

BΓ⃗(α_{1}.....α_{n})(f_{1}, f_{2}, ..., f_{m}) = ∑ D_{p_{1}}α_{1}^{i_{1}i_{2}...i_{k_{1}}} ...D_{p_{n}}α_{n}^{i_{k_{1}+...k_{n−1}+1}...i_{k_{1}+...+kn}} D_{q_{1}}f_{1}...D_{q_{m}}f_{m}

si D_{a} est l’opérateur :

D_{a} = ∏_{l,\overrightarrow{v_{l}}=\overrightarrow{.a}} ∂_{i_{l}}

et si la somme est étendue à tous les indices i_{j} répétés. On notera aussi

U_{n} = ∑ U_{(k_{1},k_{2},...,k_{n})} = ∑ U_{k_{{1,...,n}}}.

Maintenant, si on change l’ordre des flèches issues d’un sommet p_{j}, le produit wΓ⃗BΓ⃗ ne change pas. On prend la convention suivante : si Γ⃗ est un graphe orienté de façon non compatible, on pose :

BΓ⃗ = ε(σ)BΓ⃗^{σ}

où σ est n’importe quelle permutation des flèches de Γ⃗ qui le transforme en un graphe Γ⃗^{σ} orienté de façon compatible. Avec cette convention, on aura :

U_{n} = ∑_{m≥0} ∑_{Γ⃗∈G′_{n,m}} w′ ; Γ⃗BΓ⃗′

où G′_{n,m} est l’ensemble de tous les graphes orientés de façon compatible ou non et w′ ; Γ⃗ est l’intégrale de la forme :

ω′ ; Γ⃗ = \frac{1}{(2π)^{∑ k_{i}}(∑ k_{i})!}dΦ\overrightarrow{v}_{1} ∧ ... ∧ dΦ\overrightarrow{v}_{k_{1}+...+kn} où Φ\overrightarrow{p_{j}a} = Arg (\frac{a − p_{j}}{a − \overline{p_{j}}} ) .

Nous allons vérifier dans la suite que nos choix de signes sont cohérents.

Théorème VI.1 (M.Kontsevich). L’application formelle U est une formalité. En particulier c’est un L_{∞}-morphisme.

Démonstration. Puisque Q_{1} = 0, l’équation de formalité s’écrit :

0 =Q′_{1} (U_{k_{{1,...,n}}}(α_{1}.....α_{n})) +

+ \frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{α}(I, J)Q′_{2} (U_{k_{I}} (α_{I}) ∘ U_{k_{J}} (α_{J})) −

− \frac{1}{2} ∑_{i≠j} ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)U_{((k_{i}+k_{j}−1),k_{1},...,_{k_{i}},...,_{k_{j}},...,k_{n})} (Q_{2}(α_{i}.α_{j}).α_{1}.....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n}) .

Remarquons maintenant que pour que wΓ⃗ ne soit pas nul, il faut que le degré de la forme ωΓ⃗ soit égal à la dimension de l’espace de configuration C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} sur lequel on intègre, c’est à dire :

∑ k_{i} = 2n + m − 2.

Dans ce cas,

(−1)^{m} = (−1)^{|U_{k_{{1,...,n}}} (···)|+1} = (−1)^{∑ k_{i}} = (−1)^{|k_{{}1,...n}|}.

Donc notre équation devient :

\begin{matrix}(1) & 0 = U_{k_{\{1,...,n\}}}(α_{\{1,...,n\}}) ∘ μ − (−1)^{∑ k_{i}−1}μ ∘ U_{k_{\{1,...,n\}}}(α_{\{1,...,n\}})+ \\ (2) & + \frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{α}(I, J)(−1)^{(|k_{I}|−1)|k_{J} |}U_{k_{I}} (α_{I}) ∘ U_{k_{J}} (α_{J})+ \\ (3) & + \frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{α}(I, J)(−1)^{|k_{I}|}U_{k_{J}} (α_{J}) ∘ U_{k_{I}} (α_{I})− \\ (4) & − \frac{1}{2} ∑_{i≠j} ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)U_{((k_{i}+k_{j}−1),k_{1},...,_{k_{i}},...,_{k_{j}},...,k_{n})} ((α_{i} • α_{j}).α_{1}.....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n}) − \\ (5) & − \frac{1}{2} ∑_{i≠j} ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)U_{((k_{i}+k_{j}−1),...,_{k_{i}},...,_{k_{j}},...,k_{n})} ((−1)^{k_{i}k_{j}}(α_{j} • α_{i}).....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n}) . \end{matrix}

Montrons que (2) = (3). En fait :

ε_{α}(I, J) = ε_{α}(J, I)(−1)^{|k_{I}||k_{J} |}

car le nombre de i de I tel que k_{i} − 2 soit impair est congru modulo à 2 à |k_{I}| = ∑ k_{i}. Donc :

(3) = \frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{α}(J, I)(−1)^{|k_{I}||k_{J} |+|k_{I}|}U_{k_{J}} (α_{J}) ∘ U_{k_{I}} (α_{I})

en changeant les rôles de I et J :

(3) = \frac{1}{2} ∑_{{I⊔J=\{1,...,n\} \atop I,J≠∅}} ε_{α}(I, J)(−1)^{|k_{J} |(|k_{I}|−1)}U_{k_{I}} (α_{I}) ∘ U_{k_{J}} (α_{J}) = (2).

De même (5) = (4) :

(4) = −\frac{1}{2} ∑_{i≠j} ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)U_{((k_{i}+k_{j}−1),k_{1},...,_{k_{i}},...,_{k_{j}},...,k_{n})} ((α_{i} • α_{j}).α_{1}.....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n})

= −\frac{1}{2} ∑_{i≠j} ε_{α}(j, i, 1, ..., î, j, ..., n)(−1)^{k_{i}k_{j}}U_{((k_{i}+k_{j}−1),k_{1},...,_{k_{i}},...,_{k_{j}},...,k_{n})} ((α_{i} • α_{j}).α_{1}.....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n})

= −\frac{1}{2} ∑_{i≠j} ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)U_{((k_{i}+k_{j}−1),k_{1},...,_{k_{j}},...,_{k_{i}},...,k_{n})} ((−1)^{k_{i}k_{j}}(α_{j} • α_{i}).α_{1}.....α̂_{j}.....α̂_{i}.....α_{n})

= (5). Posons enfin μ = U_{∅}. Alors (1) s’écrit :

(1) = (−1)^{(|k_{{1,...,n}}|−1).0} U_{k_{{1,...,n}}} (α_{{1,...,n}}) ∘ U_{∅} + (−1)^{(0−1)|k_{{1,...,n}}|}U_{∅} ∘ U_{k_{{1,...,n}}} (α_{k_{{1,...,n}}}) . Comme ε_{α}({1, ..., n}, ∅) = ε_{α}(∅, {1, ..., n}) = 1, l’équation de formalité devient :

\begin{matrix}∑_{I⊔J=\{1,...,n\}} & ε_{α}(I, J)(−1)^{(|k_{I}|−1)|k_{J} |}U_{k_{I}} (α_{I}) ∘ U_{k_{J}} (α_{J}) − ∑_{i≠j} ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n) \\ U_{((k_{i}+k_{j}−1),k_{1},...,_{k_{i}},...,_{k_{j}},...,k_{n})} ((α_{i} • α_{j}).α_{1}.....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n}) = 0. \end{matrix}

Si on remplace les U_{I}(α_{I}) par les ∑Γ⃗ w′ ; Γ⃗B′ ; Γ⃗(α_{I}) et qu’on développe tout, on obtient une somme d’opérateurs multi-différentiels de la forme :

∑_{Γ⃗′} cΓ⃗′B′ ; Γ⃗′(α_{1}.....α_{n})

où Γ⃗′ est un graphe à n sommets aériens, m sommets terrestres ayant 2n + m − 3 flèches. Si on se donne Γ⃗′ orienté et une face F de codimension 1 de ∂C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+}, on associe à ce couple (Γ′, F) au plus un terme de l’équation de formalité. Plus précisément :

Cas 1 : si

\begin{aligned}F & = ∂_{\{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} \};\{q_{l+1},...,q_{l+m_{1}} \}}C_{\{p_{1},...,p_{n}\};\{q_{1},...,q_{m}\}}^{+} \\ & = C_{\{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} \};\{q_{l+1},...,q_{l+m_{1}} \}}^{+} × C_{\{p_{1},...,p_{n}\}\\{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} \};\{q_{1},...,q_{l},q,q_{l+m_{1}+1},...,q_{m}\}}^{+}, \end{aligned}

que l’on notera :

∂_{S,S′}C_{A,B}^{+} = C_{S,S′}^{+} × C_{A\S, B\S′⊔{q}}^{+},

on associe au couple (Γ⃗′, F) l’unique terme :

B′_{Γ⃗′,F} (α_{1}, .., α_{n})(f_{1}, ..., f_{m}) = B′ ; Γ⃗_{2} (α_{j_{1}}.....α_{j_{n_{2}}} ) (f_{1}, ..., f_{l}, B′ ; Γ⃗_{1} (α_{i_{1}}.....α_{i_{n_{1}}} ) (f_{l+1}, ..., f_{l+m_{1}}) , f_{l+m_{1}+1}, ...f_{m})

où Γ⃗_{1} est la restriction à {p_{i_{1}}, ..., p_{i_{n_{1}}} }∪{q_{l+1}, ..., q_{l+m_{1}}} (avec son ordre), Γ⃗_{2} est le graphe obtenu en collapsant les points p_{i_{1}},..., p_{i_{n_{1}}} et q_{l+1},..., q_{l+m_{1}} en q, on a posé {1, ..., n} \ {i_{1}, ..., i_{n_{1}}} = {j_{1} < j_{2} < ... < j_{n_{2}}}. On note c_{Γ⃗′,F} le coefficient de cet opérateur.

Remarquons que l’application (Γ⃗′, F) ↦ (Γ⃗_{1}, Γ⃗_{2}) est dans ce cas surjective mais pas injective. Si on se donne le couple (Γ⃗_{1}, Γ⃗_{2}), la face F est bien déterminée mais Γ⃗′ n’est pas unique : il y a d’abord la répartition des flèches allant d’un sommet de Γ⃗_{2} vers un sommet de Γ⃗_{1} (application de la règle de Leibniz) chaque répartition correspond à un graphe Γ_{2} différent. Si cette répartition est donnée, il faut encore fixer l’ordre des flèches de Γ′. Le nombre de choix est bien sûr le quotient du nombre d’orientations possibles pour Γ′ par celui des orientations possibles de Γ_{1} et Γ_{2} :

Nombre d’orientations de Γ′ = \frac{(k_{i_{1}} + ... + k_{i_{n_{1}}} )! (k_{j_{1}} + ... + k_{j_{n_{2}}} )!}{(∑ k_{i})!} = \frac{|k_{I}|!|k_{J}|!}{|k_{\{1,...,n\}}|!}.

Cas 2 : si

F = ∂_{{p_{i},p_{j}}}C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} = C_{{p_{i},p_{j}}} × C_{{p,p_{1},...,_{p_{i}},...,_{p_{j}},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+},

que l’on notera :

∂_{S}C_{A,B}^{+} = C_{S} × C_{A\S⊔{p}, B}^{+},

A (Γ⃗′, F), si la flèche \overrightarrow{p_{i}p_{j}} est une des flèches de Γ′, on associe l’unique terme :

B′_{Γ⃗′,F} (α_{1}, .., α_{n})(f_{1}, ..., f_{m}) = BΓ⃗_{2} ((α_{i} • α_{j}).α_{1}.....α̂_{i}.....α̂_{j}.....α_{n})

où Γ⃗_{2} est le graphe obtenu en collapsant les sommets p_{i} et p_{j} du graphe Γ′ sur le point p et en éliminant la flèche \overrightarrow{p_{i}p_{j}}. Si cette flèche n’existe pas dans Γ′, on associe l’opérateur nul à (Γ⃗′, F). On note c_{Γ⃗′,F} le coefficient de cet opérateur. Dans ce cas, on considérera l’application (Γ⃗′, F) ↦ (Γ⃗_{1}, Γ⃗_{2}) oú Γ⃗_{1} est le graphe tracé dans C_{{p_{i},p_{j}}} à une seule flèche : la flèche \overrightarrow{p_{i}p_{j}}. A part le cas 0, l’image réciproque d’un couple (Γ⃗_{1}, Γ⃗_{2}) contient exactement :

Nombre d’orientations de Γ′ = \frac{((k_{i} + k_{j} − 1) + k_{1} + ... + k̂_{i} + ... + k̂_{j} + ... + k_{n})!}{(∑ k_{i})!} = \frac{(|k_{\{1,...,n\}}| − 1)!}{|k_{\{1,...,n\}}|!}.

Cas 3 : si

F = ∂_{S}C_{A,B}^{+} = C_{S} × C_{A\S⊔{p}, B}^{+}

avec |S| ≥ 3, dans ce cas aucun terme de l’équation de formalité n’est associé à (Γ⃗′, F). On pose donc c_{Γ⃗′,F} = 0. Pour chaque Γ⃗′, on définit sur C_{{p_{1},...,p_{n}};{q_{1},...,q_{m}}}^{+} la forme :

ω′ ; Γ⃗′ = \frac{1}{(2π)^{|k_{\{1,...,n\}}|} |k_{\{1,...,n\}}|!}dΦ\overrightarrow{v}_{1} ∧ ... ∧ dΦ\overrightarrow{v}_{k_{1}+...+kn} .

Montrons qu’avec toutes ces notations, l’équation de formalité s’écrit :

\begin{aligned}0 & = ∑_{Γ⃗′∈G′_{n,m}} [ ∑_{F ∈∂C_{A,B}^{+}} ∫F⃗ ω′ ; Γ⃗′ ] B′ ; Γ⃗′ (α_{1}.....α_{n}) \\ & = ∑_{Γ⃗′∈G′_{n,m}} [∫_{C_{A,B}^{+}} dω′ ; Γ⃗] B′ ; Γ⃗′ (α_{1}.....α_{n}) . \end{aligned}

Le résultat est donc une simple conséquence du théorème de Stokes sur la variété à coins C_{A,B}^{+} et pour les formes fermées ω′ ; Γ⃗′. Comparons donc terme par terme chaque coefficient c_{Γ⃗′,F} et l’intégrale sur la face orientée F⃗ de la forme

ω′ ; Γ⃗′.

Cas 1 : Avec nos notations, le coefficient c_{Γ⃗′,F} est :

\begin{aligned}c_{Γ⃗′,F} & = ε_{α}(J, I)(−1)^{(|k_{J} |−1)|k_{I}|} \frac{|k_{I}|!|k_{J}|!}{|k_{\{1,...,n\}}|!}(−1)^{l(m_{1}−1)} \\ & ∫_{C_{S,S′}^{+}} ω′ ; Γ⃗_{1} ∫_{C_{A\S, B\S′⊔\{q\}}^{+}} ω′ ; Γ⃗_{2}. \end{aligned}

(Le signe (−1)^{l(m_{1}−1)} provient du développement de l’opération ∘). On rappelle que S′ est le segment q_{l+1}, …, q_{l+m_{1}} et que q remplace S′ dans B \ S′ ⊔ {q}. D’autre part, on a pour la forme

ω′ ; Γ⃗′ = ε_{α}(I, J)\frac{|k_{I}|!|k_{J}|!}{|k_{\{1,...,n\}}|!}ω′ ; Γ⃗_{1} ∧ ω′ ; Γ⃗_{2}

et la face F⃗ (en tenant compte de son orientation) :

\begin{aligned}∫F⃗ ω′ ; Γ⃗′ & = ε_{α}(I, J)(−1)^{lm_{1}+l+m_{1}} \frac{|k_{I}|!|k_{J}|!}{|k_{\{1,...,n\}}|!} ∫_{C_{\{p_{i_{1}} ,...,p_{in_{1}} \};\{q_{l+1},...,q_{l+m_{1}} \}}^{+}} ω′ ; Γ⃗_{1} \\ & ∫_{C_{A\S, B\S′⊔\{q\}}^{+}} ω′ ; Γ⃗_{2}. \end{aligned}

Rappelons que |k_{I}| = 2n_{1} + m_{1} − 2, |k_{J}| = 2(n − n_{1}) + (m − m_{1} + 1) − 2, le signe devant l’intégrale est donc :

\begin{aligned}ε_{α}(I, J)(−1)^{lm_{1}+l+m_{1}} & = ε_{α}(J, I)(−1)^{|k_{I}||k_{J} |}(−1)^{lm_{1}+m_{1}+l} \\ & = ε_{α}(J, I)(−1)^{|k_{I}||k_{J} |}(−1)^{lm_{1}+l}(−1)^{|k_{I}|}. \end{aligned}

Donc :

c_{Γ⃗′,F} = ∫F⃗ ω′ ; Γ⃗′.

Cas 2 : Avec nos notations, le coefficient c_{Γ⃗′,F} est nul si Γ⃗′ ne contient pas la flèche \overrightarrow{p_{i}p_{j}} et sinon :

\begin{aligned}c_{Γ⃗′,F} & = −ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)\frac{(|k_{\{1,...,n\}}| − 1)!}{|k_{\{1,...,n\}}|!} \\ & ∫_{C_{S}} ω′ ; Γ⃗_{1} ∫_{C^{+}A\S⊔\{p\}, B} ω′ ; Γ⃗_{2}. \end{aligned}

D’autre part, on a pour la forme

ω′ ; Γ⃗′ = ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)\frac{(|k_{\{1,...,n\}}| − 1)!}{|k_{\{1,...,n\}}|!}ω′ ; Γ⃗_{1} ∧ ω′ ; Γ⃗_{2}

et la face F⃗ (en tenant compte de son orientation) :

∫F⃗ ω′ ; Γ⃗′ = −ε_{α}(i, j, 1, ..., î, j, ..., n)\frac{(|k_{\{1,...,n\}}| − 1)!}{|k_{\{1,...,n\}}|!} ∫_{C_{S}} ω′ ; Γ⃗_{1} ∫_{C_{A\S⊔\{p\}, B}^{+}} ω′ ; Γ⃗_{2},

avec S = {p_{i}, p_{j}}. On a donc pour tout Γ⃗′ et F :

c_{Γ⃗′,F} = ∫F⃗ ω′ ; Γ⃗′.

Cas 3 : Il n’y a pas de termes dans notre équation de formalité dans ce cas, ou c_{Γ⃗′,F} = 0. Mais dans ce cas, on a le lemme suivant de Kontsevich [K1 § 6.6.1], [Kh] :

∫_{C_{S}} ω′ ; Γ⃗_{1} = 0

si |S| ≥ 3. On a donc de nouveau :

c_{Γ⃗′,F} = ∫F⃗ ω′ ; Γ⃗′.

Et ceci finit la preuve de la validité de l’équation de formalité.

•

* *

*

Appendice. Formalité et quantification par déformation

Nous expliquons dans ce paragraphe pourquoi la formalité de Kontsevich permet d’obtenir un étoileproduit à partir d’un 2-tenseur de Poisson. On considère une (limite projective d’) algèbre(s) nilpotente(s) de dimension finie 𝔪. Par exemple :

𝔪 = h̄ℝ[[h̄]] = lim_{←} h̄ℝ[[h̄]]/h̄^{k}ℝ[[h̄]].

A.1.1 Construction d’étoile-produits

On se donne une L_{∞}-algèbre (𝔤, Q) sur un corps k de caractéristique zéro, que l’on voit comme une Q-variété formelle graduée pointée. Un 𝔪-point de la variété formelle 𝔤 est par définition un morphisme de cogèbres :

p : 𝔪^{∗} ⟶ C(𝔤).

Le produit tensoriel (complété dans le cas d’une limite projective) C(𝔤)ˆ⊗𝔪, muni de la comultiplication de C(𝔤) étendue par 𝔪-linéarité, admet une structure de cogèbre (sans co-unité) sur 𝔪. On peut alors voir un 𝔪-point comme un élément non nul de type groupe de cette cogèbre, c’est-à-dire un élément p ∈ C(𝔤)ˆ⊗𝔪 vérifiant : Δp = p ⊗ p.

Proposition A.1. Les 𝔪-points de la variété formelle 𝔤 sont donnés par :

p_{v} = e^{v} − 1 = v + \frac{v^{2}}{2} + ⋯

où v est un élément pair de 𝔤[1]ˆ⊗𝔪

Démonstration. La série a bien un sens dans C(𝔤)ˆ⊗𝔪. Si p est un 𝔪-point, p est forcément pair, et on voit que la série :

v = Log(1 + p) = p − \frac{p^{2}}{2} + ⋯

a un sens dans C(𝔤)ˆ⊗𝔪 et définit un élément primitif (et pair), c’est-à-dire que l’on a : Δv = 0. Pour démontrer ce point on rajoute formellement la co-unité en considérant la cogèbre :

\overline{C}_{𝔪} = (k.1 ⊕ 𝔪) ⊕ C(𝔤)ˆ⊗𝔪.

Un élément de type groupe de cette cogèbre s’écrit toujours :

g = 1 + p

où p est de type groupe dans la cogèbre sans co-unité C(𝔤)ˆ⊗𝔪. Il s’agit alors de montrer que le logarithme v d’un tel élément est primitif, c’est-à-dire que l’on a dans \overline{C}_{𝔪} :

Δv = v ⊗ 1 + 1 ⊗ v

Pour cela on remarque que la cogèbre \overline{C}_{𝔪} est en fait une bigèbre. Le calcul formel suivant a alors un sens :

Δ Log g = Log(Δg)
= Log(g ⊗ g)
= Log((g ⊗ 1)(1 ⊗ g))
= Log(g ⊗ 1) + Log(1 ⊗ g)
= Log g ⊗ 1 + 1 ⊗ Log g

Donc, forcément v appartient à 𝔤ˆ⊗𝔪, et il est clair que p = p_{v}.

•

Le champ de vecteurs Q s’étend de manière naturelle à C(𝔤)ˆ⊗𝔪. Supposons que Q s’annule au point p_{v} :

Q(e^{v} − 1) = 0

On traduit ceci par le fait que v vérifie l’équation de Maurer-Cartan généralisée :

(MCG)  Q_{1}(v) + \frac{1}{2}Q_{2}(v.v) + ⋯ = 0.

Si 𝔤 est une algèbre de Lie différentielle graduée, ça se réduit à l’équation de Maurer-Cartan :

dv − \frac{1}{2}[v, v] = 0.

(En effet v est pair dans 𝔤[1] ⊗ 𝔪, donc impair dans 𝔤 ⊗ 𝔪). Si maintenant F est un L_{∞}-morphisme entre (𝔤_{1}, Q) et (𝔤_{2}, Q′), et si v ∈ 𝔤 ⊗ 𝔪 est tel que Q(p_{v}) = 0, il est clair que :

Q′(F(p_{v})) = F(Q(p_{v})) = 0.

Or F(p_{v}) = e^{w} − 1 avec w ∈ 𝔤_{2} ˆ⊗𝔪 d’après la proposition A.1, puisque F(p_{v}) est de type groupe. Il est clair que w est la projection canonique de F(p_{v}) sur 𝔤_{2} ˆ⊗m, soit :

w = ∑_{n≥1} \frac{1}{n!}F_{n}(v^{n}).

En résumé, si v ∈ 𝔤_{1} ˆ⊗𝔪 vérifie (MCG), alors l’élément w ∈ 𝔤_{2} ˆ⊗𝔪 donné par l’égalité ci-dessus vérifie (MCG). Dans le cas où les deux L_{∞}-algèbres sont les algèbres de Lie différentielles graduées des multichamps de vecteurs et des opérateurs polydifférentiels, tout 2-tenseur de Poisson formel :

v = h̄γ_{1} + h̄^{2}γ_{2} + ⋯

donne naissance grâce à ce processus à un opérateur bidifférentiel formel w tel que μ+w soit un étoile-produit, μ désignant la multiplication usuelle de deux fonctions.

A.2. Equivalence des foncteurs de déformation

On suppose toujours le corps de base k de caractéristique zéro. Soit 𝔤 une algèbre de Lie différentielle graduée. Rappelons [K1 § 3.2] que le foncteur de déformation Def_{𝔤} associe à toute algèbre commutative nilpotente de dimension finie 𝔪 l’ensemble des classes de solutions de degré 1 de l’équation de Maurer-Cartan dans 𝔤 ⊗ 𝔪 modulo l’action du groupe de jauge, c’est-à-dire le groupe nilpotent G_{𝔪} = exp(𝔤^{0} ⊗ 𝔪), dont l’action (par des transformations affines de l’espace 𝔤^{1} ⊗ 𝔪) est donnée infinitésimalement par :

α.γ = dα + [α, γ]

pour tout α ∈ 𝔤^{0} ⊗ 𝔪 et pour tout γ ∈ 𝔤^{1} ⊗ 𝔪. Ce foncteur s’étend naturellement aux limites projectives d’algèbres commutatives nilpotentes de dimension finie : Def_{𝔤}(𝔪) est dans ce cas défini comme l’ensemble des classes de solutions de degré 1 de l’équation de Maurer-Cartan dans le produit tensoriel complété 𝔤ˆ⊗𝔪 modulo l’action du groupe pro-nilpotent G_{𝔪} = exp(𝔤^{0} ˆ⊗𝔪).

L’équivalence de jauge peut aussi se définir pour une L_{∞}-algèbre quelconque (𝔤, Q) : deux solutions de l’équation de Maurer-Cartan généralisée γ_{0} et γ_{1} dans 𝔤^{1} ⊗ 𝔪 sont équivalentes s’il existe une famille polynomiale ξ(t)_{t∈k} de champs de vecteurs de degré −1 et une famille polynomiale γ(t)_{t∈k} de solutions de l’équation de Maurer-Cartan généralisée dans 𝔤^{1} ⊗ 𝔪 telles que :

\begin{aligned}\frac{dγ(t)}{dt} & = [Q, ξ(t)](γ(t)) \\ γ(0) & = γ_{0},  γ(1) = γ_{1}. \end{aligned}  (∗∗)

On vérifie facilement que cette relation est une relation d’équivalence, ce qui permet de définir le foncteur de déformation Def_{𝔤} comme la correspondance qui à toute algèbre commutative nilpotente de dimension finie 𝔪 associe l’ensmble Def_{𝔤}(𝔪) des classes de solutions de degré 1 de l’équation de Maurer-Cartan généralisée dans 𝔤 ⊗ 𝔪 modulo l’équivalence de jauge.

Proposition A.2.1 (cf. [K1 § 4.5.2]). 1). Dans le cas d’une algèbre de Lie différentielle graduée les deux notions d’équivalence de jauge (et donc de foncteur de déformation) coïncident. 2). Soient 𝔤_{1} et 𝔤_{2} deux algèbres de Lie différentielles graduées. Alors le foncteur Def_{𝔤_{1}⊕𝔤_{2}} est naturellement équivalent au produit des foncteurs Def_{𝔤_{1}} × Def_{𝔤_{2}}. 3). Le foncteur de déformation est trivial pour une L_{∞}-algèbre linéaire contractile.

Démonstration. Les points 2) et 3) sont faciles à établir. Pour établir le premier point précisons d’abord la notion de champ de vecteurs : un champ de vecteurs sur une variété formelle graduée pointée 𝔤[1] ⊗ 𝔪 est donné par une codérivation A de la cogèbre C(𝔤) ⊗ 𝔪. Sa valeur en un point γ de la variété formelle est donnée par la projection sur 𝔤 ⊗ 𝔪 de A(e^{γ} − 1), que l’on notera A(γ). Cette notation, bien que cohérente du point de vue géométrique, est un peu ambigüe, car A(γ) ne coïncide en général pas avec la valeur de la codérivation A prise en γ vu comme un élément de la cogèbre C(𝔤) ⊗ 𝔪.

Revenons aux notations du début du § A.2. On remarque que l’action de α ∈ 𝔤^{0} ⊗ 𝔪 sur 𝔤^{1} ⊗ 𝔪 est donnée par le champ de vecteurs :

D_{α} = [Q, R_{α}],

où R_{α} est le champ de vecteurs constant égal à α. Ce champ de vecteurs est bien de degré −1. L’équivalence de jauge au sens des algèbres de Lie différentielles graduées γ_{1} = (exp α).γ_{0} entraîne donc l’équivalence de jauge au sens des L_{∞}-algèbres, avec ξ(t) = R_{α} pour tout t et γ(t) = (exp tα).γ_{0}.

Supposons maintenant que γ_{0} et γ_{1} sont équivalents au sens des L_{∞}-algèbres. Soient ξ(t) et γ(t) les familles polynomiales de champs de vecteurs de degré −1 et de solutions de l’équation de Maurer-Cartan généralisée respectivement, telles que l’équation (**) soit vérifiée. Le champ de vecteurs de degré zéro [Q, ξ(t)] s’écrit explicitement en tout 𝔪-point γ ∈ 𝔤^{1} ⊗ 𝔪 :

[Q, ξ(t)](γ) = dξ(t)(γ) + [ξ(t)(γ), γ].

On effectue ce calcul en appliquant la codérivation [Q, ξ(t)] à l’élément de type groupe e^{γ} − 1. Compte tenu de l’équation (**) on voit que le vecteur tangent \frac{dγ(t)}{dt} au point γ(t) est donné par un champ de vecteurs provenant de l’action d’un élément de l’algèbre de Lie 𝔤^{0} ⊗ 𝔪.

Montrons par récurrence sur le degré d de γ_{t} (en tant que polynôme) qu’il existe un entier r (dépendant de d) tel que pour tout t ∈ k il existe g_{t} = exp(tD_{1} + ⋯ + t^{r}D_{r}) ∈ G_{𝔪} tel que γ_{t} = g_{t}.γ_{0} : si d = 0 on a γ_{t} = γ_{0} et la constante g_{t} = Id convient. Supposons donc que la propriété soit vraie au rang d−1. Supposons que γ_{t} soit un polynôme de degré d, que l’on peut écrire :

γ_{t} = γ̃_{t} + t^{d}γ_{d}.

Grâce à l’hypothèse de récurrence on peut écrire :

\begin{aligned}γ_{t} & = e^{t^{d}γ_{d}} γ̃_{t} \\ & = e^{t^{d}γ_{d}}e^{tD_{1}+···+t^{r}D_{r}}γ_{0}. \end{aligned}

Le terme γ_{d} appartient à l’algèbre de Lie 𝔤^{0} ⊗𝔪. La série de Campbell-Hausdorff ne comprend qu’un nombre fini de termes dans le cas d’un groupe nilpotent, ce qui permet de conclure. Le passage aux limites projectives d’algèbres commutatives nilpotentes de dimension finie se fait sans difficulté.

•

Compte tenu de la proposition V.2, la proposition A.2.1 entraîne le résultat suivant :

Théorème A.2.2. Soient 𝔤_{1} et 𝔤_{2} deux L_{∞}-algèbres quasi-isomorphes. Alors les foncteurs de déformation de 𝔤_{1} et de 𝔤_{2} sont isomorphes.

En particulier les classes d’équivalence de jauge de 2-tenseurs de Poisson formels sur une variété sont en bijection avec les classes d’équivalence de jauge d’étoile-produits.

Références :

[AKSZ] M. Alexandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz, O. Zaboronsky, The geometry of the Master equation and topological quantum field theory, Int. J. Mod. Phys. et hep-th 9502010.

[BFFLS] F. Bayen, M. Flato, C. Frønsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Deformation theory and quantization I.

Deformations of symplectic structures, Ann. Phys. 111 No1, 61-110 (1978).

[FM] W. Fulton, R. MacPherson, Compactification of configuration spaces, Ann. Math. 139, 183-225 (1994). [H-S] V. Hinich, V. Schechtman, Homotopy Lie algebras, I.M. Gelfand Seminar, Adv. Sov. math. 16 (2), 1993.

[Kh] A.G. Khovanskiĭ, On a lemma of Kontsevich. Funct. Anal. Appl. 31, no. 4, 296–298 (1998)

[K1] M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, q-alg. 9709040.

[K2] M. Kontsevich, Formality conjecture, D. Sternheimer et al. (eds.), Deformation theory and symplectic geometry, Kluwer, 139-156 (1997).

[M] S. Majid, Algebras and Hopf algebras in braided categories, q-alg. 9509023.

[Q] D. Quillen, Rational homotopy theory, Ann. Math. 90 (1969), 205-295.