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Organisateur : Yanick HEURTEAUX et Emmanuel ROYER Ce séminaire participe à l'ACM. Les exposés ont lieu le mardi à 14h00 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).
Résumé non parvenu
Résumé non parvenu
Site personnel Résumé non parvenu.
Site personnel Résumé non parvenu. NB. L'exposé d'Indira Chatterji initialement prévu à cette date est reporté
Site personnel Dans cet exposé, on introduit la notion de pavage apériodique et d'espace topologique associé. La fonction de complexité, qui en dimension 1 mesure le défaut de périodicité d'un pavage se généralise en dimension supérieure. On verra qu'il existe dans certains cas des liens entre la complexité d'un pavage et les invariants topologiques de l'espace associé. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux pavages construits par coupe et projection, pour lesquels des calculs explicites sont possibles. Il ne devrait pas y avoir vraiment de pré-requis. Peut-être un tout petit peu de topologie algébrique.
Site personnel On considère les aspects métriques de la géométrie non commutative du plan de Moyal, décrite par une version non unitale d'un triplet spectral basé sur l'algèbre des fonctions de Schwartz de $mathbb{R}^2$. Une formule de distance spectrale entre états purs d'une certaine classe est explicitement établie. On discute les propriétés de cette formule et certaines conséquences de l'existence d'états purs a distance infinies.
L'homologie de Poisson a été introduite de manière indépendante par Brylinski (comme un outil important dans le calcul de l'homologie de Hochschild ainsi que de l'homologie cyclique), et par Koszul et Gelfand-Dorfman (inspiré de l'approche algébrique dans l'étude des structures bi-hamiltonniènne). De manière « duale », nous avons la notion de cohomologie de Poisson, introduite par Lichnerowicz. Mais cette dualité est assez subtile : on obtient une dualité de type Poincaré seulement pour une certaine classe de structures de Poisson. Pour une structure de Poisson quelconque, les obstructions à cette dualité sont contenues dans sa classe modulaire, une notion introduite par Weinstein. Nous verrons l'influence de cette classe modulaire sur l'homologie et la cohomologie de Poisson pour les structures Jacobiènnes de Poisson généralisées en dimension trois.
Séminaire reporté au 25 mai
On s'intéressera à la formulation de la distance proposée par Connes en géométrie non-commutative. Dans le cas commutatif, on verra comment cette vision duale de la distance, à savoir la distance géodésique comme le supremum d'une quantité plutôt que l'infimum d'une longueur, est la reformulation dans le langage des triplets spectraux d'anciens résultats en théorie du transport optimal (dualité de Monge-Kantorovich). Puis on s'intéressera à des exemples non-commutatifs simples (le produit d'une variété riemannienne M par un triplet spectral de dimension finie) o¹ la distance de Connes est intimement liée à la distance horizontale (ou de Carnot-Carathéodory) en géométrie sous-riemannienne. On étudiera en particulier comment la différence entre ces deux distances est gouvernée par l'holonomie de la connection définie par l'opérateur de Dirac sur le fibré trivial des états purs de l'algèbre $C_infty(M)otimes M_n(mathbb{C})$. D'autres exemples non-commutatifs seront abordés, comme le plan de Moyal ou le tore non-commutatif. On montrera ainsi comment obtenir des espaces quantiques métriques au sens de Rieffel (i.e. tels que la topologie induite par la distance sur l'espace des états coincident avec la topologie *-faible).
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Un feuilletage de codimension 1 sur une variété M de dimension n est une partition de M en sous-ensembles connexes, appelés feuilles, qui a localement l'allure de la partition « triviale » de Rn par les hyperplans affines Rn-1x{.}. En particulier, les feuilles sont des hypersurfaces immergées de M.
Dans cet exposé, nous donnons la structure des polyzêtas par l'intermédiaire de la description du groupe des associateurs obtenue par l'action du groupe Galois différentiel des polylogarithmes sur leur développements asymptotiques.
Dans les années 20, Littlewood établit un résultat fondamental de comparaison des fonctions sous-harmoniques (principe de subordination de Littlewood). Dans les années 60, Carleson résout complètement un problème d'interpolation de type Lagrange par des fonctions analytiques BORNEES. A cette occasion se dégage une certaine classe de mesures positives, qu'on appelle aujourd'hui les mesures de Carleson. Ces résultats de Littlewood et Carleson, apparemment assez éloignés, se trouvent avoir des interactions profondes par le biais des opérateurs de composition, notamment sur l'espace de Hilbert H2. Dans ce survol qui se voudra généraliste, on tentera d'expliquer les raisons de cette interaction et ses applications, en commençant par le début de la théorie des opérateurs de composition, en poursuivant par des résultats fondamentaux de J.Shapiro, D.Luecking, et K.Zhu des années 80 et 90, et en finissant par des progrès récents issus de travaux en commun avec P.Lefevre, D.Li, L.Rodriguez-Piazza.
Site personnel Les algèbres Calabi-Yau ont été définies par Victor Ginzburg comme des analogues non commutatifs des algèbres de fonctions régulières sur des variétés Calabi-Yau. L'algèbre C[X,Y,Z] en est un exemple et Roland Berger a démontré que les algèbres de Weyl le sont également. Lorsqu'un groupe fini G agit sur une algèbre A, le produit croisé de A par G peut être vu comme un remplacement de l'algèbre des invariants AG, qui, elle, est plus difficile à manipuler. Par exemple, si G est un sous-groupe de SL3(C) alors G agit sur C[X,Y,Z]; Victor Ginzburg a alors démontré que le produit croisé de C[X,Y,Z] par G est Morita équivalente à une algèbre Calabi-Yau. Nous verrons dans quelle mesure ce résultat peut s'étendre au cas d'un groupe fini agissant sur une algèbre Calabi-Yau. L'une des motivations de ce travail vient de la théorie des représentations des algèbres de dimension finie, o¹ certaines algèbres Calabi-Yau servent à construire des algèbres amassées (selon le travail de Claire Amiot). Nous verrons quelques applications en ce sens.
Site personnel Les surfaces projectives proprement convexes compactes ont été beaucoup étudiées notamment par Goldman et Choi. Le théorème suivant est une généralisation d'un théorème classique de géométrie hyperbolique. Ce théorème sera le coeur de mon exposé. Il montre en particulier que le fait d'être de volume fini ne dépend que de l'holonomie des lacets élémentaires. Théorème: Soit S une surface sans bord et de type fini, une structure projective proprement convexe sur S est de volume fini si et seulement si l'holonomie des lacets élémentaires de S est parabolique. Cette étude permet de montrer que lorsque le quotient S = Omega/Gamma est de volume fini alors l'ouvert proprement convexe Omega est strictement convexe et son bord est C1. Je parlerai (si le temps le permet) de la topologie des espaces de modules de telles structures. On peut aussi montrer que ces espaces de modules s'identifient à une composante connexe d'un espace de représentation du groupe fondamental de la surface. Prérequis: un peu de surfaces hyperboliques un peu de géométrie riemmanienne un peu de géométrie projective les bases des (G,X) structure: notion de développante et d'holonomie
Site personnel Pearson et Bellissard ont construit un triplet spectral (une structure « riemannienne » non-commutative) pour les espaces de Cantor ultramétriques, et obtenu une famille d'opérateurs de type Laplace-Beltrami (comme « carrés » des opérateurs de Dirac). Motivés par les applications à la physique des solides (diffusion atomique dans les quasicristaux), nous revisitons leur construction pour les transversales d'espace de pavages de substitution qui sont des Cantor auto-similaires particuliers. L'espace de Cantor est encode par un diagramme de Bratteli et la similarité par une algèbre de Cuntz-Krieger associée au diagramme. Nous caractériserons explicitement le spectre des Laplaciens, donnerons l'asymptotique de Weyl des valeurs propres ainsi qu'un équivalent de Seeley pour les noyaux de la chaleur. L'exposé sera informel, aucun prérequis n'est nécessaire pour le suivre. (Travail en collaboration avec A. Julien de Lyon.)
Site personnel Dans le cas où Γ est le groupe fondamental d'une surface fermée Σ et G=SL2(R), l'action de G par isométries sur le plan hyperbolique X=H2 permet d'identifier l'espace de Teichmûller des métriques hyperboliques sur Σ à une composante connexe de l'espace Hom(Γ,G)/G des classes de conjugaisons des représentations de Γ dans G. Nous nous intéressons de manière plus générale à l'espace Hom(Γ,G) des représentations dans G=SLn(R) d'un groupe Γ de type fini. Une représentation ρ de Γ dans G peut être vue comme une action de Γ par isométries sur un espace métrique à courbure négative ou nulle : l'espace symétrique X associé à G. Nous décrirons les propriétés géométriques des actions ρ liées à la notion de semisimplicité ou complète réductibilité, et le lien avec les propriétés topologiques de l'action par conjugaison de G sur l'espace Hom(Γ,G), notamment son plus gros quotient séparé.
Site personnel On a compact manifold X with boundary we consider the realization B=PT of an elliptic boundary problem, consisting of a differential operator P and a differential boundary condition T. We assume that B is parameter-elliptic in small sectors around two rays in the complex plane, say argλ=φ and argλ=θ. Associated to the cuts along the rays one can then define two zeta function ζφ and ζθ for B. Both extend to meromorphic functions on the plane; the origin is a regular point. We relate the difference of the values at the origin to the associated sectorial projection Πθ,φ(B) defined by Πθ,φu=i(2€)-1âλ-1B(B-λ)-1udλ (uâdom (B)), where the integration is over the contour which runs on the first ray from infinity to r0eiφ for some r0>0, then clockwise about the origin on the circle of radius r0 to r0eiθ and back to infinity along the second ray. This sounds more difficult than it actually is, and I will try to explain it in an understandable way. Résumé au format pdf
Fichier de l'exposé téléchargeable Nous introduisons une notion « naturelle » d'holomorphie pour des fonctions à valeurs complexes, définies sur différents espaces, tels, l'espace euclidien de dimension 3, ou l'arbre simplicial de valence 3. Ce concept s'apparente à l'harmonicité, et dans certains cas se rejoint à des notions existantes d'holomorphie discrète. Nous préciserons le cadre, et décrirons des connexions avec des notions classiques de géométrie riemannienne. Nous dégagerons un phénomène de rigidité de fonctions holomorphes par rapport aux fonctions harmoniques. Dans ce dernier cas, on a un problème de Dirichlet permettant de restituer une fonction à partir des ses valeurs à « l'infini ». En revanche les fonctions holomorphes, se déterminent par un système dynamique holomorphe, mais aléatoire. |
Dernière mise à jour le 06/10/2008 |
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