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Organisateur : Yves STALDER et Andrzej STOS Ce séminaire participe à l'ACM. Les exposés ont lieu le mardi à 14h00 dans l'amphi Hennequin du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).
Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres. On peut lui associer un nombre réel h(A) appelé hauteur différentielle ou hauteur de Faltings de A. Les propriétés de ce réel ont joué un grand rôle dans la preuve de la conjecture de Mordell, entre autres, assurant qu'il n'existe qu'un nombre fini de points rationnels sur une courbe algébrique lisse de genre g>1. On propose dans cet exposé de détailler certaines propriétés, notamment la comparaison explicite entre cette hauteur et la hauteur thêta de Mumford, et d'expliquer les avantages qu'on peut en tirer.
Soit k un corps global de caracteristique differente de 2, et soit K/k une extension galoisienne de groupe G. Soit q_K : K imes K o k la forme trace de l'extension, donnee par q_K(x,y) = Tr_{K/k}(xy). Une base normale (gx)_g in G est appelee base normal autoduale si l'on a q_K(gx,hx) = delta(g,h). Le but de cet expose est de demontrer un principe local-global pour l'existence d'une base normale autoduale. Il s'agit d'un travail commun avec Parimala et Serre.
Une frontière (parfois dite de James) d'un espace de Banach est une partie de la boule unité du dual tel que tout élément de l'espace atteint sa norme en un élément de cette partie. Le théorème de la frontière dit que sur l'espace de Banach en question la topologie faible et la topologie simple définie par la frontière déterminent les mêmes ensembles bornés compacts. Je discuterai ce théorème dans le contexte d'une conjecture de Godefroy. (S'il me reste du temps je parlerai d'un autre sujet : Espaces de Banach qui sont L-facteur dans le bidual, par exemple le prédual d'une algèbre de von Neumann ou l'espace de Hardy H^1.)
Nous verrons quelques résultats concernant l'itération des fractions rationnelles sur la sphère de Riemann. On présentera certains cas où la dynamique de la fraction sur l'ensemble limite peut être décrite. On évoquera d'autres questions telles que la rigidité.
Je dresserai un aperçu historique de la théorie d'Iwasawa dans le cadre cyclotomique, ce qui débouche sur des résultats et des problèmes récents.
La dualité de Koszul des opérades construite en 1994 par Ginzburg et Kapranov, a un lien étroit avec les compactifications d'espaces de configuration. En effet, Getzler et Jones ont montré que l'opérade de Gerstenhaber était de Koszul en utilisant le fait que la suite spectrale géométrique associée aux configurations de points dans le plan complexe dégénérait à la deuxieme page. Depuis, il existe des techniques de réécriture qui permettent de montrer que cette opérade est de Koszul. Je commencerait par expliquer ces résultats, puis j'introduirais l'opérade Swiss-cheese et les compactifications de configuration de points dans le demi-plan de Poincaré. J'expliquerai en quoi ces techniques de réécriture permettent d'avoir une description de la suite spectrale géometrique associée à ces configurations.
On démontre l'origine géometrique de certaines conjectures de transcendance classiques, comme la conjecture de Schanuel. Après avoir généralisé la notion d'extension de groupes abéliens à des complexes de longeur 2, on esquisse la démonstration de la conjecture de Deligne concernant les extensions de 1-motifs.
Une application miroir q(z) se définit comme exp(G(z)/F(z)), o¹ F et G sont holomorphes en z=0 et F(z), G(z)+log(z)F(z) sont toutes deux solutions d'une même équation différentielle hypergéométrique. Dans de nombreux cas d'équations hypergéométriques originellement issues de la physique théorique, il a été constaté que les coefficients de Taylor de q(z) sont des entiers. Cette observation a été démontrée pour des classes d'équations de plus en plus générales par Lian-Yau, Zudilin et Krattenthaler-Rivoal entre 1995 et 2008, jusqu'à un résultat optimal de Delaygue en 2011. Le but de l'exposé est de présenter ces résultats ainsi que les méthodes d'analyse p-adique sous-jacentes.
L'espace hyperbolique complexe peut-être vu comme la boule unité de C^n munie d'une métrique qui généralise celle de Poincaré sur le disque unité. L'étude des sous-groupes discrets de PU(n,1) généralise donc celle des groupes Fuchsiens, bien connus par exemple dans le cadre de l'uniformisation des surfaces de Riemann. Cependant dès que la dimension n est supérieure ou égale à deux, il devient beaucoup plus difficile de décrire des groupes discrets, en particulier du fait que la courbure n'est plus constante. Dans cet exposé, je donnerai une description de la géométrie de l'espace hyperbolique complexe et de ses isométries, et donnerai des exemples de groupes discrets, et de questions posées dans le domaine.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des régions sans zéro pour une large classe de séries de Dirichlet. En prolongeant une méthode fonctionnelle initiée par Nyman et Beurling, nous donnerons des disques explicites sans zéros et un critère de type Beurling-Nyman qui améliorent des résultats récents de Nikolski et de Roton. Cette méthode permet notamment de donner un nouveau critère pour le problème du zéro de Siegel. Il s'agit d'un travail en collaboration avec C. Delaunay, E. Mosaki et O. Robert.
Dans un premier temps, je présenterai l'immeuble de Bruhat-Tits associé à un groupe réductif G (par exemple : G = GL_n) sur un corps K muni d'une valuation discrète (par exemple : K = Q_p). Puis, j'expliquerai quelle sorte d'informations il permet d'obtenir sur les représentations de plus haut poids de G à coefficients complexes (ici, K = C((t))). J'évoquerai notamment une interprétation immobilière du modèle des chemins de Littelmann et une preuve du théorème de "saturation" donnée par Kapovich et Millson. Finalement, si le temps le permet, j'expliquerai comment généraliser ces notions quand G est un groupe de Kac-Moody.
Nous présenterons quelques aspects combinatoires modernes de la théorie additive des nombres.
L'ensemble de représentations unitaires d'un groupe localement compact est muni d'une topologie naturelle et importante. Malheureusement, c'est souvent une topologie très dégénérée. Par contre, si on la remplace par un espace non commutatif -- une algèbre de "fonctions" qui ne commutent pas -- on trouve des applications profondes en géométrie et topologie classique . J'expliquerai cette idée et discuterai les groupes les plus intéressants maintenant -- les groupes discrets en rang supérieur à 2, comme SL(3,Z).
Si le laplacien a été beaucoup étudié sur les espaces localement symétriques riemanniens, on avait jusqu'ici peu d'informations sur son spectre discret dans le cas des espaces localement symétriques non riemanniens, le laplacien n'étant alors plus un opérateur elliptique. Dans un travail en commun avec Toshiyuki Kobayashi, nous montrons que pour une large classe d'espaces localement symétriques non riemanniens, le spectre discret du laplacien est infini et stable par petites déformations de la structure géométrique. J'expliquerai nos résultats dans le cas des variétés anti-de Sitter de dimension trois, c'est-à-dire des variétés lorentziennes de dimension trois de courbure sectionnelle constante strictement négative.
dans les années 80, B. Helffer et J. Sjôstrand ont étudié l'effet tunnel dans le régime semi-clasique $hbar ightarrow 0$ pour l'équation de Schrôdinger dans $R^n$. On peut revisiter leur méthode dans le cas des graphes finis. Il s'agit alors d'étudier le comportement asymptotique lorsque $hbar ightarrow 0$ des valeurs propres de $hbar^2 Delta +V $ o˘ $Delta $ est un laplacien combinatoire et $V$ une matrice diagonale. Cette étude peut se faire de façon assez explicite en utisant une version simplifiée de la théorie de Helffer-Sjôstrand. Cela rejoint des travaux que j'avais fait il y a quelques temps avec Y. Pan et B. Ycart sur les limites singuliËres de processus de Markov.
On expliquera l'importance des variétés de Fano pour la classification des variétés algébriques (complexes). Ensuite on définira les variétés symétriques (complexes) et on fera voir comme des variétés symétriques de Fano sont lie a des particulier algèbres de Jordan.
En 1936, Bohnenblust and Hille ont résolu le problème de l'abcisse de convergence de Bohr grâce leur procédé de polarisation qui leur permet d'obtenir une version symétrique d'une inégalité de Littelwood pour les application multilinéaires. Dans un travail commun avec A. Defant, L. Frerick, J. Ortega-Cerdà et K. Seip, nous démontrons que l'inégalité de Bohnenblust-Hille est en fait hypercontractive. J'expliquerai dans mon exposé comment nous arrivons à ce résultat et comment ceci nous conduit, entre autres applications, à la solution du problème, ouvert par Boas et Khavinson en 1997, de déterminer le comportement asymptotique du rayon de Bohr pour le polydisque.
L'idée du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique est que la première doit être un cas limite de la seconde. Ainsi, certaines notions fondamentales de la mécanique classique doivent correspondre à des notions fondamentales de la mécanique quantique. En particulier, P. A. M. Dirac a observé qu'à un facteur $2ipi/h$ près, le commutateur de variables dynamiques qui apparaît dans les équations quantiques du mouvement de W. Heisenberg doit être l'analogue, en mécanique classique, du crochet de Poisson symplectique de $R ^{2r}$. Dans un contexte mathématique, nous allons considérer une algèbre non commutative $B$ et voir comment lui associer naturellement une algèbre (commutative) de Poisson $T$, si bien que l'algèbre $B$ pourra être vue comme déformation de l'algèbre de Poisson $T$. Cette algèbre $B$ fait partie d'une famille d'algèbres $3$-Calabi-Yau définies par potentiels et dépendant d'un entier naturel $n$. L'algèbre $B$ est pour nous l'exemple le plus intéressant du cas $n=2$, et nous donnons des liens cohomologiques entre $B$ et $T$, en obtenant la cohomologie de Hochschild de $B$ à l'aide de la cohomologie de Poisson de $T$. Il s'agit d'un travail en commun avec Roland Berger.
Construire des résolutions de modules et en tirer des invariants est une procédure classique , bien connue et assez effective. Sans trop de dificultés on peut étendre cette construction aux complexes bornés à droite disons, et ceci rentre naturellement dans le cadre de l'algèbre homotopique définie par Quillen. Quand on s'intéresse aux complexes non-bornés et qu'en plus on change la définition des objets à l'aide desquels on résout (dans ce cas la notion de ``module injectif'') les constructions sont nettement plus complexes. Nous montrerons comment ses résolutions injectives relatives s'insèrent naturellement dans le cadre des ``approximations de modèles'' définies par Chach²lski-Scherer, et nous expliquerons pourquoi la procédure habituelle pour résoudre un complexe non-borné consistant à le couper, résoudre les complexes partiels et recoller ces résolutions ne fonctionne pas même dans le cadre habituellement aisé des anneaux commutatifs noetheriens.
On présentera la théorie des espaces de Hardy des fonctions harmoniques pour les processus stables symétriques sur le complémentaire d'une sphère et sur le complémentaire d'un hyperplan dans R^n. On montrera une forte relation entre les propriétés au bord de cettes fonctions et le comportement des processus stables au temps de sortie.
Site personnel Dans cet exposé, nous commencerons par présenter une opération élémentaire sur les graphes orientés (les carquois) : la mutation. Cette opération est apparue en physique dans la dualité de Seiberg dans les années 90 et en mathématiques dans la définition des algèbres amassées (cluster algebras) en 2002. A des suites de mutations, nous associerons des produits de certaines séries formelles non commutatives : les (exponentielles de) dilogarithmes quantiques. Il s'avère que ces produits, construits de façon élémentaire, sont reliés aux "invariants de Donaldson-Thomas raffinés" introduits récemment par Joyce, Kontsevich-Soibelman et d'autres.
Dans les années 50, Lehmer (entre autres) a démontré plusieurs congruences entre certaines fonctions arithmétiques introduites précédemment par Ramanujan. Par la suite, Serre et Swinnerton-Dyer ont interprété ces congruences en termes de représentations galoisiennes attachées aux formes modulaires ouvrant ainsi la voie à de vastes généralisations. Dans cet exposé, je tâcherai d'introduire leurs travaux, d'expliquer les problèmes posés par leurs généralisations et, si le temps le permet d'apporter quelques éléments de réponses.
Le théorème de Hörmander (1960) donne une condition sur une fonction radiale f et ses derivées pour que
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