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POLE DE MATHÉMATIQUES
Quelques animations...
 
Laurent Chupin
 
Enseignant-chercheur --- Mathématiques

Institut Camille Jordan

INSTITUT CAMILLE JORDAN



MÉLANGE DE FLUIDES VISCO-ÉLASTIQUES                                                                                   • • • Une référence pour en savoir plus : [ref]

Les fluides dont la contrainte est déterminée par la pression seule sont appelés des fluides parfaits. Le modèle sous-jacent est décrit par l'équation d'Euler, déterminée au cours du XVIII-ème siècle. Au milieu du XIX-ème siècle, Stokes et Navier propose de prendre en compte des effets visqueux qu'ils quantifient par l'expérience. Bien que de nombreux fluides peuvent effectivement être considérés comme visqueux (on les appelle des fluides newtoniens), certains fluides ne suivent pas ces lois "linéaires". De nombreux modèles plus ou moins complexes ont alors vu le jour... Un fluide visco-élastique est un de ces fluides. Pour ces modèles, on considère non seulement que le fluide est visqueux mais aussi qu'il est élastique, autrement dit qu'il possède une mémoire.
Et voici ce qu'on peut simuler en mélangeant deux fluides visco-élastiques :

Fluide newtonien

Un peu visco-élastique

Très élastique
Les simulations ci-dessous mettent en lumière le phénomène de  décomposition spinodale : si la température passe sous une valeur critique, deux fluides bien mélangés se séparent. Si on leur impose en plus un cisaillement, ils s'alignent en formant des bandes. Cette théorie est validée ici pour des fluides newtoniens mais pas pour des fluides visco-élastiques.

      
    Mélange newtonien    -    Mélange visco-élastique


PRESSION DE FLUIDE DANS DES MÉCANISMES LUBRIFIÉS                                                      • • Une référence pour en savoir plus : [ref]
La description du logiciel développé puis utilisé pour obtenir ces simulations est dispo-
-nible ici ou sur le site du projet PLUME   http://www.projet-plume.org/fr/relier/elvis  
Dans des mécanismes de lubrification (comme par exemple dans des roulements à billes), les fluides sont soumis à de fortes contraintes liées à la pression interne aux fluides. Il est important de pouvoir calculer ces pressions efficacement : c'est-à-dire rapidement et précisement. Un des systèmes de base pour modéliser ce type d'écoulement correspond aux équations de Reynolds. Ces équations ne sont rien d'autre que les équations de Navier-Stokes dans lesquelles on a conservé uniquement les premiers termes d'un développement limité en fonction du rapport hauteur du domaine/longueur du domaine (en effet, dans les études de lubrification ce rapport est souvent très petit, de l'ordre de 0.001).
 



Le domaine dans lequel s'écoule le fluide est schématisé par la figure ci-dessus. L'écoulement est confiné entre deux plaques : celle du haut au repos qui contient toute la géométrie du domaine, et celle du bas plane mais qui est animée d'une vitesse imposée.

Fig 1 : Cas newtonien (0% d'élasticité)

Fig 2 : Cas peu élastique (20%)
Dans les simulations suivantes, on impose un débit de vitesse en amont puis on observe les pressions obtenues. La géométrie est fixée et nous avons fait varier uniquement les propriétés d'élasticité du fluide.

• La figure 1 correspond aux cas d'un fluide newtonien (c'est-à-dire purement visqueux, sans aucune propriété d'élasticité). Elle représente les valeurs de la pression dans le domaine.

• Dans les trois autres figures, nous avons simplement introduit de plus en plus délasticité dans le modèle.

Fig 3 : Cas visco-élastique (50%)

Fig 4 : Cas très élastique (80%)


DISTRIBUTION DE RESSORTS DANS UN ÉCOULEMENT DE POLYMÈRES                             • • • Une référence pour en savoir plus : [ref]

Le modèle FENE (finite extensibility non linear elasticity) est utilisé pour modéliser le comportement du tenseur des contraintes dans certains type de fluides visco-élastiques (essentiellement les solutions de polymères diluées). Comme son nom l'indique, le modèle schématise les chaînes de polymères par des ressorts qui ont une longueur maximale. Initialement, le modèle est plutôt vu comme un modèle probabiliste (formé d'équations différentielles stochastiques) et prend en compte des impacts stochastiques de nature brownienne sur les chaînes de polymères. C'est la version "équation aux dérivées partielles" équivalente que j'ai un peu étudié.








A gauche, le domaine physique d'un écoulement réel : le champ de vitesse est donné (on suppose par exemple que le champ de vitesse est un champ de cisaillement comme représenté sur la figure).
Au point de vue microscopique, on identifie les chaînes de polymères à des systèmes masses-ressorts. L'orientation et la longueur de chaque ressort est une quantité distribuée dans une boule dont le rayon correspond à l'extension maximale du ressort.
A droite, les couleurs correspondent aux différentes probabilités qu'un ressort soit dans la position donnée. Pour le dessin donné ici, le ressort dessiné est celui qui à le plus de chance d'être présent.
Fig 1
 
Le fluide est au repos (sans cisaillement), les ressorts sont distribués "régulièrement".
Fig 2

Film de l'évolution de la distribution des ressorts lorsque la vitesse de cisaillement varie.
Fig 3

Lorsque la vitesse de cisaillement est très grande, les ressorts ont tendance à s'étirer et à s'aligner tous dans la direction principale de l'écoulement.

EFFETS DES RUGOSITÉS DANS DES ÉCOULEMENTS MINCES                                                      • • Une référence pour en savoir plus : [ref]

Le contexte physique étudié ici est similaire à celui présenté plus haut (au sujet de la pression dans des mécanismes lubrifiés). Nous avons proposé un modèle très simple à résoudre numériquement et permettant de prendre en compte des rugosités dans des écoulements minces et cisaillés. Ce modèle correspond à l'approximation au premier ordre des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles lorsque le domaine où s'écoule le fluide est infiniment mince (d'ordre µ<<1), et comporte des zones "rugueuses". Les rugosités sont schématisées par le bord du domaine décrit par des fonctions oscillantes (de fréquence et d'amplitude très petites µ²).


Fig 1 : Effet des rugosités à gauche

Dans les deux exemples présentés ici (à gauche et à droite), j'ai tracé en quadrillage la solution sans aucune rugosité. En bleu correspondent les solutions avec des rugosités sur une partie du haut du domaine.



 



Fig 2 : Effet des rugosités au milieu


 © Laurent Chupin - Institut Camille Jordan - Pôle de Mathématiques