Annales Mathematiques Blaise Pascal 0, 0-0 (2001)

Erratum : Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de Kontsevich

Dominique Manchon Charles Torossian

Quelques erreurs de signe se sont glissées dans la proposition 4.1 et le théorème 4.6 de l’article récemment publié (Annales Mathématiques Blaise Pascal 10, 75-106 (2003)). Elles proviennent d’une confusion dans l’application du lemme 4.2 : dans la proposition 4.1 et le théorème 4.6, α est un k_{1}-champ de vecteurs, β est un k_{2}-champ de vecteurs et γ est le 2-tenseur de Poisson. En revanche, l’entier k_{2} qui apparaît dans le lemme 4.2 est égal à 2 lorsqu’on l’applique à l’intégration sur une strate de type 1, car k_{2} va s’appliquer ici au 2-tenseur de Poisson γ. Le signe (−1)^{(k_{1}−1)k_{2}} vaut donc 1.

Quant au signe (−1)^{k_{1}(k_{2}−1)} il doit être remplacé par (−1)^{k_{1}}. En effet l’argument concernant les strates de type 2 à la fin de la démonstration du lemme 4.2 est défaillant et doit être corrigé par le suivant : on échange les positions 1 associée à α et 2 associée à β, ce qui fait apparaître un signe (−1)^{k_{1}k_{2}} dû au poids, puis on échange à nouveau les positions après avoir remplacé β par [β, γ], ce qui fait apparaître cette fois le signe (−1)^{(k_{2}+1)k_{1}}. Le produit de ces deux signes est bien (−1)^{k_{1}}. Voici donc les énoncés corrigés de la proposition 4.1 et du théorème 4.6 :

Proposition 0.0: Soit γ un 2-tenseur de Poisson formel, soit ∗ l’étoileproduit construit à partir de γ à l’aide du L_{∞}-quasi-isomorphisme U, soient α un k_{1}-champ de vecteurs et β un k_{2}-champ de vecteurs. Alors on a, avec

D. Manchon, Ch. Torossian

m = k_{1} + k_{2} :

∑_{n≥0} \frac{ℏ^{n}}{n!} ∑_{Γ∈G_{n+2,m}} W′′_{Γ}B_{Γ}(α ⊗ β ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ) =

= ∑_{n≥0} \frac{ℏ^{n}}{n!} ∑_{Δ∈G_{n+2,m−1}} W̃_{Δ}[∗, B_{Δ}(α ⊗ β ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ)]

− ∑_{n≥0} \frac{ℏ^{n}}{n!} ∑_{Δ∈G_{n+1,m}} W̃_{Δ}(B_{Δ}([α, γ] ⊗ β ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ)

+ (−1)^{k_{1}}B_{Δ}(α ⊗ [β, γ] ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ)), (0.1)

où W̃_{Δ} désigne l’intégrale de ω_{Δ} sur l’image réciproque de ξ([0, 1]) par l’application oubli F : \overline{C_{n+2,m−1}} → \overline{C_{2,0}} ou F : \overline{C_{n+1,m}} → \overline{C_{2,0}}.

Théorème 0.1: Soit α un k_{1}-champ de vecteurs et soit β un k_{2}-champ de vecteurs. Alors on a, avec m = k_{1} + k_{2} :

U′_{ℏγ}(α ∪ β) − U′_{ℏγ}(α) ∪ U′_{ℏγ}(β) =

∑_{n≥0} \frac{ℏ^{n}}{n!} ∑_{Δ∈G_{n+2,m−1}} W̃_{Δ}[∗, B_{Δ}(α ⊗ β ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ)]

− ∑_{n≥0} \frac{ℏ^{n}}{n!} ∑_{Δ∈G_{n+1,m}} W̃_{Δ}(B_{Δ}([α, γ] ⊗ β ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ)+

(−1)^{k_{1}}B_{Δ}(α ⊗ [β, γ] ⊗ γ ⊗ ⋯ ⊗ γ)). (0.2)

Signalons également que dans l’expression du crochet de Schouten modifié, qui figure dans la preuve du lemme 4.2, le signe (−1)^{k_{1}k_{2}} doit être remplacé par (−1)^{(k_{1}−1)(k_{2}−1)}. Ceci entraîne une modification de signe quelques lignes plus loin dans l’expression de Q_{2}^{1}(γ_{1}.γ_{2}), où le signe (−1)^{r+s+k_{2}} doit être remplacé par (−1)^{r+s+k_{1}−1}.

Cohomologie tangente et cup-produit

Dominique Manchon  Charles Torossian
Université Blaise Pascal  Ecole Normale Supérieure
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