Dominique MANCHON

UMR 6620, 24 av. des Landais, 63177 Aubière cedex

Tel : 04 73 40 76 98. Adresse électronique : manchon@math.univ-bpclermont.fr

Programme de recherches

(Janvier 2012)

Mes travaux se répartissent essentiellement en trois domaines de recherche :

Opérateurs pseudo-différentiels et représentations (articles 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 25, 29, 39 et 43), Quantification par déformation (articles 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36 et 37), Combinatoire et algèbres de Hopf (articles 5, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 38, 40, 41 et 44).

J’ai été amené, d’abord comme étudiant en thèse, puis comme Chargé de Recherches au CNRS, à aborder des domaines assez variés des Mathématiques, que j’ai essayé de regrouper dans les trois catégories ci-dessus (liées entre elles par la notion de ”quantification” au sens large). Le paragraphe “Perspectives” du document de synthèse de mes travaux s’efforce de faire le point sur les questions qui restent ouvertes, et pourrait faire office d’esquisse de programme de recherches pour les années à venir. Un choix s’impose cependant parmi la multiplicité des pistes.

Le thème regroupé sous l’intitulé “combinatoire et algèbres de Hopf” a pris une importance prépondérante dans mes travaux depuis quelques années, et je m’intéresse également aux triplets spectraux qui apparaissent naturellement à la suite de mes travaux antérieurs liés au thème “opérateurs pseudo-différentiels et représentations”. J’ai le projet de développer prioritairement ces deux axes de recherches dans les années à venir. En plus des questions ouvertes présentées dans le document de synthèse (aux sous-paragraphes 2 et 4 du dernier paragraphe consacré aux perspectives), plusieurs autres se posent :

1) Dans l’article [28], à la suite de travaux en analyse numérique ([CHV], [Mur]) dans la continuation de [Cay], [B63] (voir aussi [Br00]), nous montrons que l’algèbre de Hopf de Connes-Kreimer H_{CK} est une cogèbre-comodule sur une autre algèbre de Hopf d’arbres enracinés H. On peut noter que les deux algèbres de Hopf d’arbres enracinés H_{CK} et H sont intimement liées au contexte général des graphes de Feynman : la première algèbre de Hopf a été introduite par A. Connes et D. Kreimer pour modéliser les “sous-divergences” dans les graphes. Parallèlement D. Kreimer avait remarqué que les graphes de Feynman eux-mêmes s’organisaient en une algèbre de Hopf (commutative, connexe, graduée par le nombre de boucles). La seconde algèbre de Hopf H s’obtient alors en définissant le coproduit comme sur les graphes, i.e. en considérant tout arbre comme un graphe sans boucles. On doit prendre alors le nombre d’arêtes comme graduation.

Un autre exemple, généralisant l’exemple ci-dessus, où une telle situation apparaît, est donné par les graphes de Feynman orientés sans cycles [41] : un graphe de Feynman orienté Γ est un graphe de Feynman avec une flèche sur chaque arête (intérieure ou extérieure). On peut alors définir deux coproduits pour Γ, l’un en exploitant la structure de poset sur l’ensemble des sommets (généralisant ainsi la notion de coupe admissible pour les arbres enracinés), et l’autre en reprenant la définition de [CK1] à l’aide de sous-graphes et de graphes contractés^{2}, à condition d’adapter correctement la notion de sous-graphe au cas orienté, de façon à ce que le graphe contracté correspondant ne présente pas de cycles. Les deux algèbres de Hopf H′_{CK} et H′ ainsi obtenues sont telles que H′_{CK} est une cogèbrecomodule sur H′. La signification physique d’une telle construction en théorie quantique des champs reste à préciser.

2) En tant qu’algèbres de Hopf graduées connexes, on peut appliquer les techniques de renormalisation de Connes et Kreimer [CK1] aux deux algèbres de Hopf H et H_{CK} (resp. H′ et H′_{CK}) ci-dessus, via la décomposition de Birkhoff de leurs caractères respectifs (à valeurs dans une algèbre commutative A munie d’un schéma de renormalisation, i.e. d’une décomposition en somme directe de deux sous-algèbres A_{−} et A_{+}). Le groupe des caractères de H à valeurs dans A agit sur le groupe des caractères de H_{CK} à valeurs dans A par automorphismes. Comment s’articulent alors les décompositions de Birkhoff?

3) Dans le prolongement de la question précédente, on peut examiner la propriété de localité pour les deux groupes de caractères ci-dessus pour le schéma minimal de renormalisation, i.e. dans le cas où l’algèbre A est l’algèbre des fonctions méromorphes d’une variable complexe z, et où A_{+} (resp. A_{−}) est la sous-algèbre des fonctions holomorphes en z = z_{0} (resp. la sous-algèbre des polynômes sans terme constant en (z −z_{0})^{−1}). Rappelons que dans ce cas la graduation de l’algèbre de Hopf induit un sous-groupe à un paramètre d’automorphismes t ↦ φ^{t} du groupe des caractères à valeurs dans A, et qu’un tel caractère φ est dit local si la partie négative (φ^{t})_{−} de la décomposition de Birkhoff de φ^{t} est indépendante de t. Les caractères locaux admettent alors un groupe de renormalisation et une fonction Bêta ([CK2], [S], voir aussi [18] et [20]). Comment s’agencent alors ces notions pour les deux groupes de caractères de la question 2)? Nul doute qu’une réponse précise à cette question ainsi qu’aux questions 1) et 2) permettrait de mieux cerner les propriétés algébriques et combinatoires de la renormalisation. Mon étudiant en Mohamed Bel Haj Mohamed a commencé en octobre 2011 une thèse en cotutelle avec M. Selmi (Facult des Sciences de Monastir) autour de ces questions. Il reformule également le traitement des moments extérieurs par A. Connes et D. Kreimer, de façon à les intégrer dans l’algèbre-cible A. L’algèbre de Hopf H des “graphes spécifiés” devient alors purement combinatoire.

4) Pour toute algèbre de Hopf graduée connexe, le schéma minimal de renormalisation décrit ci-dessus permet ([CK2], [20]) une introduction purement algébrique de la localité d’un caractère, ainsi que du groupe de renormalisation et de la fonction Bêta d’un caractère local. Il serait bon d’avoir une approche similaire pour d’autres schémas de renormalisation faisant intervenir d’autres algèbres-cible A que l’algèbre des fonctions méromorphes d’une variable.

2 On laisse de côté la question des moments extérieurs.

5) Les algèbres de Hopf ci-dessus sont “droitières”, i.e. dans le coproduit appliqué à un arbre, les termes à gauche du produit tensoriel peuvent être des forêts, alors que les termes à droite sont toujours des arbres (terminologie due à J-L. Loday et M. Ronco [LR]). Ces algèbres de Hopf forment une catégorie équivalente à la catégorie des algèbres pré-Lie à gauche. Or certaines algèbres de Hopf intéressantes, notamment l’algèbre de Hopf d’arbres de H. Munthe-Kaas et W. Wright qui apparaît naturellement dans les problèmes d’approximation numérique d’équations différentielles sur les variétés munies d’une action d’un groupe de Lie [MKW], font apparaître la notion d’algèbre post-Lie (définie par B. Vallette en 2007, et simultanément présente implicitement dans [MKW]), qui généralise la notion d’algèbre pré-Lie. Une algèbre post-Lie est la donnée d’une algèbre de Lie 𝔩 et d’une application linéaire L : 𝔩 → Der 𝔩 telle que l’on ait :

[L_{X}, L_{Y}] − L_{[X,Y]} = L_{L_{X}Y −L_{Y} X}.

Une algèbre post-Lie abélienne munie du produit X ▷ Y := L_{X}Y est alors une algèbre pré-Lie à gauche (elle est abélienne pour le crochet de Lie de départ, mais pas en général pour le crochet [[X, Y]] := X ▷ Y − Y ▷ X!). Une étude complète de l’opérade post-Lie constitue un travail en cours avec K. Ebrahimi-Fard, A. Lundervold, H. Munthe-Kaas et J-E. Vatne.

Toutes ces questions, ainsi que les questions abordées dans le dernier paragraphe du chapitre “perspectives” du document de synthèse, se situent à l’interface de plusieurs domaines : théorie quantique des champs, analyse numérique, algèbre, combinatoire, théorie des opérades. Elles gravitent autour de l’objet central H_{CK} et de ses versions décorées, ou, ce qui revient au même [CL], autour de l’algèbre pré-Lie libre à un ou plusieurs générateurs.

6) Mon étudiant A. Saïdi a montré dans [Sd2] en quoi l’opérade pré-Lie est une déformation de l’opérade NAP (gouvernant les algèbres non-associatives permutatives), en interpolant entre les deux à l’aide d’une famille à un paramètre O_{λ} d’opérades multigraduées. Cette notion permet de tracer un cadre généralisant celui de la quantification par déformation (dans lequel les deux opérades en jeu sont l’opérade de Poisson et l’opérade associative). “Quantifier” une algèbre non-associative permutative A consiste à construire une structure O_{λ}-algèbre sur A[[λ]] (en regardant ici λ domme une indéterminée) de sorte que la spécialisation en λ = 0 redonne la structure NAP de départ sur A. La spécialisation en λ = 1, si elle est possible, fournit alors une structure pré-Lie sur A. Il serait intéressant de trouver d’autres exemples de situations similaires.

7) La première question du sous-paragraphe 2 du chapitre “perspectives” du document de synthèse, à savoir la propriété de prolongement méromorphe pour la fonction zêta d’un certain triplet spectral associé à une représentation unitaire irréductible d’un groupe de Lie nilpotent, fait l’objet d’une thèse commencée depuis octobre 2011 par Franck Gautier-Baudhuit, étudiant en thèse à l’Université Blaise Pascal (co-encadré par Jean-Marie Lescure et moi-même). Il essaie d’adapter l’approche combinatoire et algébrique qui a si bien réussi à N. Higson dans le cas des variétés compactes. Un article avec S. Dave [43] est également en projet autour de ces questions. Le travail en cours [39], avec J-M. Lescure et S. Vassout, concerne les opérateurs Fourier-intégraux invariants sur un groupoïde de Lie, et plus précisément l’approximation de l’opérateur des ondes par un tel Fourier-intégral.

Liste des travaux

Articles parus ou à paraître :

[1] Formule de Weyl pour les groupes de Lie nilpotents, J. f.d. Reine u. Angew. Math. 418, 77-129 (1991).

[2] Calcul symbolique sur les groupes de Lie nilpotents et applications, J. Funct. Anal. 102 (2), 206-251 (1991).

[3] Weyl symbolic calculus on any Lie group, Acta Appl. Math. 30, 159-186 (1993).

[4] Opérateurs pseudo-differentiels et représentations unitaires des groupes de Lie, Bull. Soc. Math. France 123, 117-138 (1995).

[5] Opérateurs aux différences finies, calcul pseudo-différentiel et représentations des groupes de Lie (avec M. Andler), J. Geom. Phys. 27, 1-29 (1998).

[6] L’algèbre de Hopf bitensorielle, Comm. Alg. 25 (5), 1537-1551 (1997).

[7] Distributions à support compact et représentations unitaires, J. Lie Theory 9, 403-424 (1999).

[8] Front d’onde et propagation des singularités pour un vecteur-distribution, Coll. Math. 81 (2), 161-191 (1999).

[9] Une remarque sur l’exponentielle-etoile, Rencontres math. de Glanon (1997).

[10] Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevich (avec D. Arnal et M. Masmoudi), Pacific J. Math. 203, N1, 23-66 (2002).

[11] Poisson bracket, deformed bracket and gauge group actions in Kontsevich deformation quantization, Lett. Math. Phys. 52, 301-310 (2000).

[12] On quantization of quadratic Poisson structures (avec M. Masmoudi et A. Roux), Commun. Math. Phys. 225, 121-130 (2002).

[13] Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de Kontsevich (avec Ch. Torossian), Annales de l’Université Blaise Pascal 10, 75-106 (2003).

[14] Orbites coadjointes et variétés caractéristiques (avec A. Baklouti et S. Dhieb), J. Geom. Phys. 54, 1-41 (2005).

[15] Bogota lectures on Hopf algebras, from basics to applications to renormalization, Comptesrendus des Rencontres mathématiques de Glanon 2001 (parus en 2003) et arXiv:math. QA/0408405.

[16] Shuffle relations for regularised integrals of symbols (avec S. Paycha), Comm. Math. Phys. 270, 13-51 (2007).

[17] Birkhoff type decompositions and the Baker-Campbell-Hausdorff recursion (avec K. Ebrahimi-Fard et L. Guo), Comm. Math. Phys. 267, 821-845 (2006).

[18] On Matrix Differential Equations in the Hopf Algebra of Renormalization (avec K. Ebrahimi-Fard), Adv. Theor. Math. Phys. 10, 879-913 (2006).

[19] Hopf algebras in renormalisation, Encycl. Math. (note brève , à paraître).

[20] Hopf algebras and renormalisation, Handbook of Algebra, Vol. 5 (M. Hazewinkel ed.), 365-427 (2008).(version augmentée et actualisée de [15]).

[21] New identities in dendriform algebras, (avec K.Ebrahimi-Fard et F. Patras), Journal of Algebra 320, 708-727 (2008).

[22] A Magnus- and Fer-type formula in dendriform algebras, (avec K. Ebrahimi-Fard), Found. of Comput. Math. Volume 9, Number 3, 295-316 (2009).

[23] A noncommutative Bohnenblust-Spitzer identity for Rota-Baxter algebras solves Bogoliubov’s recursion (avec K.Ebrahimi-Fard et F. Patras), J. Noncommutative Geometry Vol. 3, Issue 2, 181-222 (2009).

[24] The combinatorics of Bogoliubov’s recursion in renormalization (avec K. Ebrahimi-Fard), CIRM 2006 workshop ”Renormalization and Galois Theories”, IRMA Lect. in Math. and Theor. Phys. 15 (A. Connes, F. Fauvet, J.-P. Ramis eds.), 179-207 (2009).

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[26] Quelques aspects combinatoires de la renormalisation, Gazette des Mathématiciens No 119, 5-15 (2009).

[27] Dendriform equations (avec K. Ebrahimi-Fard), Journal of Algebra 322, 4053-4079 (2009).

[28] Two interacting Hopf algebras of trees (avec D. Calaque et K. Ebrahimi-Fard), Advances in Applied Mathematics 47, no. 2, 282-308 (2011).

[29] Connected filtered Hopf algebras and renormalization, in “Motives, Quantum Field Theory and pseudodifferential Operators”Clay Math. Proceedings vol. 12. A. Carey, D. Ellwood, S. Paycha, S. Rosenberg Eds. (2010).

[30] Renormalised multiple zeta values which respect quasi-shuffle relations, in ”Combinatorics and physics”, K. Ebrahimi-Fard, M. Marcolli, W. Van Suijlekom eds., Contemp. Math. No 539 (2011).

[31] Nested sums of symbols and renormalised multiple zeta functions (avec S. Paycha), Int. Math. Res. Notices 2010 issue 24, 4628-4697 (2010).

[33] Lois pré-Lie en interaction (avec A. Saïdi), Comm. Alg. volume 39 No 10, 3662-3680 (2011).

[34] Twisted dendriform algebras (avec K. Ebrahimi-Fard), Journal of Pure and Applied Algebra 215, 2615-2627 (2011).

[35] A short survey on pre-Lie algebras, E. Schrödinger Institut Lectures in Mathematics and Physics, A. Carey Ed., Eur. math. Soc. (2011).

[36] A deformation approach of the Kirillov map for exponential lie groups (avec A. Baklouti et S. Dhieb), Congrès tuniso-japonais de Kerkennah (nov. 2009), Adv. in Pure and Appl. Math. 2, 421-436 (2011). Articles soumis et prépublications :

[32] Stokes’ formulae on classical symbol valued forms and applications (avec Y. Maeda et S. Paycha), arxiv:math/0510454.

[40] Algebraic background for numerical methods, control theory and renormalization, notes de cours, Benasque (Espagne), Mars 2010.

[41] On bialgebras and Hopf algebras of oriented graphs, arXiv:1011.3032, article soumis. Articles en préparation :

[37] The Poisson characteristic variety of unitary irreducible representations of exponential Lie groups (avec A. Baklouti et S. Dhieb).

[38] Pre-Lie Butcher series (avec K. Ebrahimi-Fard).

[39] Opérateurs Fourier-intégraux invariants sur un groupoïde de Lie (avec J-M. Lescure et S. Vassout), en projet.

[42] Bessel-like functions and Dunkl operators (avec M.B. Zahaf).

[43] Spectral triples and unitary irreducible representations (avec S. Dave), en projet.

[44] Une application des arbres enracinés à la théorie analytique des nombres, en préparation.

Quelques références

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