Notes sur la régularisation dimensionnelle

Dominique Manchon, 16 mai 2003

Introduction

On s’intéresse à une intégrale indéfinie, éventuellement divergente, sur un espace ℝ^{d} muni d’une mesure de Lebesgue :

J_{d}(φ) = ∫_{ℝ^{d}} φ(x) dx.

La régularisation dimensionnelle, introduite en théorie quantique des champs au début des années 70, consiste à “prolonger la dimension dans le plan complexe”. Plus précisément il s’agit de trouver une bonne correspondance :

φ ⟼ J_{−}(φ) : w ↦ J_{w}(φ)

à valeurs dans les fonctions méromorphes, qui coïncide en w = d avec l’intégrale de départ J_{d}(φ) losqu’elle existe, qui présente un pôle en w = d lorsque l’intégrale de départ diverge, et telle que les trois axiomes de Wilson suivants soient vérifiés (cf [C]) :

1) Linéarité :

J_{w}(λφ + μψ) = λJ_{w}(φ) + μJ_{w}(ψ).

2) Changement d’échelle : si pour tout t ∈ ℝ^{+∗} on pose (H_{t}.φ)(x) = φ(t^{−1}x), alors :

J_{w}(H_{t}.φ) = t^{w}J_{w}(φ).

3) Invariance par translation : si pour tout q ∈ ℝ^{d} on pose (T_{q}.φ)(x) = φ(x − q), alors :

J_{w}(T_{q}.φ) = J_{w}(φ).

Autrement dit on veut donner un sens raisonnable à l’opération consistant moralement à “intégrer sur un espace linéaire de dimension w”. Il paraît surprenant de vouloir intégrer sue un mystérieux “espace linéaire de dimension w” une fonction qui vit sur ℝ^{d}. Ce paradoxe apparaît si on cherche, pour w ≠ d, la forme linéaire J_{w} sous forme d’une mesure de Radon, c’est-à-dire (via le théorème de représentation de Riesz), si on suppose que J_{w} est continue sur l’espace C_{c}(ℝ^{d}) des fonctions continues à support compact. On pourrait alors écrire :

J_{w}(φ) = ∫_{ℝ^{d}} φ(x) dμ_{w}(x),

où μ_{w} est une mesure complexe sur ℝ^{d} à la fois invariante par translation et vérifiant :

μ(tK) = t^{w}μ(K)

pour tout compact K et tout réel positif t, ce qui est impossible si w ≠ d. On ne peut donc pas s’attendre à ce que les formes linéaires J_{w} aient de bonnes propriétés topologiques pour w ≠ d. Le procédé de régularisation dimensionnelle n’a d’ailleurs été mené à bien, à ma connaissance, qu’en se restreignant à une classe très particulière de fonctions φ, à savoir les fonctions de la forme :

φ(x) = f(A_{x})

où f est une fonction définie sur l’espace des formes quadratiques sur ℝ^{k+1} (et vérifiant des conditions de croissance à préciser), où q_{1}, …, q_{k} est un ensemble fini de vecteurs fixés dans ℝ^{d} (que l’on supposera euclidien ici), et où A_{x} est la forme quadratique sur ℝ^{k+1} donnée par :

A_{x}(y_{0}, y_{1}, …, y_{k}) = ∥xy_{0} + q_{1}y_{1} + ... + q_{k}y_{k}∥^{2}.

Autrement dit (cf. [E]), on s’autorise à remplacer la fonction φ sur ℝ^{d} par une fonction f définie sur un espace abstrait de formes quadratiques indépendant de la dimension d de l’espace de départ. Les vecteurs q_{1}, …, q_{k} correspondent aux “moments extérieurs” associés aux arêtes externes des graphes de Feynman en théorie quantique des champs.

Résumé de l’approche de P. Etingof [E]

On veut formaliser le cadre esquissé à la fin de l’introduction, en l’étendant éventuellement aux intégrales multiples, c’est-à-dire sur un espace de dimension Ld où L est un entier positif quelconque. Pour cela on part d’un espace vectoriel E de dimension finie N et d’un sous-espace F ⊂ E de dimension M On posera L = N − M. Le choix d’un élément de volume dv_{E} sur E induit un élément de volume dA sur l’espace S^{2}E^{∗} des formes bilinéaires symétriques sur E. Il en est de même sur le sous-espace F moyennant le choix d’un élément de volume v_{F}. Toute forme bilinéaire symétrique A sur E induit par restriction une forme bilinéaire symétrique A|_{F} sur F. On considère l’espace S(S_{+}^{2}E^{∗}) des fonctions de

Schwartz sur S^{2}E^{∗} de support inclus dans le cône S_{+}^{2}E^{∗} des formes bilinéaires symétriques positives. On définit un opérateur I_{w}^{EF} de S(S_{+}^{2}E^{∗}) dans S(S_{+}^{2}F^{∗}) de la façon suivante : pour Re w > N − 1 et pour tout C ∈ S^{2}F^{∗} on considère la fonction ρ_{w}^{EF} (−, C) sur S^{2}E^{∗}, à support dans S_{+}^{2}E^{∗}, définie par :

ρ_{w}^{EF} (A, C) = π^{Lw/2} \frac{Γ_{M}(w/2)}{Γ_{N}(w/2)}δ(A|_{F} − C)(det C)^{−(w−M−1)/2} det A)^{(w−N−1)/2},

où pour tout entier n la fonction Γ_{n} est définie par :

Γ_{n}(z) = (2π)^{n(n−1)/4} ∏_{l=0}^{n−1} Γ(z + l/2).

Si F = {0} on convient que le déterminant de l’unique forme quadratique ∗ sur F est égal à 1, et on écrira simplement ρ_{w}^{E0}(A, ∗) = ρ_{w}^{E0}(A). Moyennant cette convention on remarque que l’on a :

ρ_{w}^{EF} (A, C) = δ(A|_{F} − C)\frac{ρ_{w}^{E0}(A)}{ρ_{w}^{F 0}(C)}.

Toujours pour Re w > N − 1 on définit l’opérateur I_{w}^{EF} par :

I_{w}^{EF} (f)(C) = ∫_{S_{+}^{2}(E)} ρ_{w}^{EF} (A, C)f(A) dA.

La quantité ci-dessus est bien définie pour C définie positive, et s’étend par continuité à C ∈ S_{+}^{2}F^{∗}. Enfin on étend I_{w}^{EF} (f)(C) en une fonction entière dans tout le plan complexe grâce à des intégrations par parties successives à l’aide de l’opérateur différentiel à coefficients constants Δ = det ∂, où det est le déterminant sur S^{2}(F^{⊥}). L’égalité cruciale est la suivante (la variable étant A et le paramètre C) :

Δρ_{w}^{EF} (A, C) = π^{N}ρ_{w−2}^{EF}(A, C)

pour tout w avec Re w > N +1. Si on a trois sous-espaces G ⊂ F ⊂ E on établit facilement l’égalité entre opérateurs :

I_{w}^{EG} = I_{w}^{F G} ∘ I_{w}^{EF} .

La proposition suivante établit le lien avec l’intégrale sur un espace de dimension Ld que nous voulions régulariser au départ :

Proposition 1 (P. Etingof). Soit w = d un entier positif, soit V un espace réel euclidien de dimension d, et soit β le produit scalaire euclidien sur V. Alors pour tout f ∈ S(S_{+}^{2}E^{∗}) et pour tout y ∈ Hom(F,V) on a :

I_{d}^{EF} (f)(y^{∗}β) = ∫_{x∈Hom(E,V), x|_{F}=y} f(x^{∗}β) dx.

Posant φ(x) = f(x^{∗}β) il est donc raisonnable de voir I_{w}^{EF} (f)(y^{∗}β) comme “l’intégrale L-uple de φ en dimension w avec paramètres externes y”. En d’autres termes, avec les notations de l’introduction :

I_{w}^{EF} (f)(y^{∗}β) = J_{Lw}(φ).

L’étape suivante consiste à passer des fonctions rapidement décroissantes f à des fonctions qui apparaissent naturellement avec les graphes de Feynman, et qui sont en général des fractions rationnelles du type :

f(A) = \frac{P (A)}{∏_{j=1}^{l}(Tr(AB_{j}) + m_{j}^{2})}

avec m_{j} ≠ 0, P polynôme et B_{j} ∈ S_{+}^{2}(E) telles que ∑ t_{j}B_{j}|_{F^{⊥}} soit non dégénérée pour

t_{j} > 0. Dans ce cas on peut encore définir I_{w}^{EF} (f) comme fonction méromorphe de w, à l’aide d’un polynôme de Bernstein-Sato. Voir [E § 3].

Revenons à des fonctions de Schwartz : il est possible, en utilisant à la fois la proposition 1 et la définition, d’écrire l’intégrale w-dimensionnelle comme une vraie intégrale d-dimensionnelle avec un certain poids : on imagine ici que w est une dimension complexe autour de d et on pose w = d − z.

Proposition 2.

I_{d−z}^{EF}(f)(y^{∗}β) = ∫_{x∈Hom(E,V), x|_{F}=y} f(x^{∗}β) (π^{−Lz/2} \frac{Γ_{M}(\frac{d−z}{2} )Γ_{N}(d/2)}{Γ_{N}(\frac{d−z}{2} )Γ_{M}(d/2)}(det y^{∗}β)^{z/2}(det x^{∗}β)^{−z/2}) dx.

Ce résultat n’est pas incompatible avec les remarques de l’introduction, car le poids (i.e. le terme entre les grandes parenthèses) dépend des “données extérieures”, c’est-à-dire de y. En revenant à la fonction de départ φ définie sur ℝ^{Ld} = {x ∈ Hom(E, V), x_{|}_{F} = y} par φ(x) = f(x^{∗}β) la proposition 2 se reformule ainsi :

J_{L(d−z)}(φ) = ∫_{x∈Hom(E,V), x|_{F}=y} φ(x) (π^{−Lz/2} \frac{Γ_{M}(\frac{d−z}{2} )Γ_{N}(d/2)}{Γ_{N}(\frac{d−z}{2} )Γ_{M}(d/2)}(det y^{∗}β)^{z/2}(det x^{∗}β)^{−z/2}) dx.

Dans cette dernière égalité le poids dépend clairement de la fonction φ par l’intermédiaire des données extérieures y. Il vaut bien entendu 1 en z = 0.

Les axiomes de Wilson dans le formalisme d’Etingof

Le premier axiome (la linéarité) est vérifié par construction, le deuxième axiome (changement d’échelle) découle, par exemple, d’un simple changement de variable dans la dernière intégrale. L’invariance par translation est plus délicate à établir : on considère l’application linéaire α : E → E ⊕ E donnée par :

α(a) = (a, −a).

Identifiant Hom(E ⊕ E, V) avec Hom(E, V) ⊕ Hom(E, V) on peut donc écrire pour tout x, x′ ∈ Hom(E, V) :

x − x′ = (x, x′) ∘ α.

Posons également :

\begin{aligned}H_{y} & = \{x ∈ Hom(E, V), x|_{F} = y\} \\ K_{y,q} & = \{(x, q) ∈ Hom(E ⊕ E, V), x|_{F} = y\}. \end{aligned}

Il est clair que pour tout q ∈ H_{0} la correspondance X ↦ X ∘ α réalise un isomorphisme de K_{y,q} sur H_{y}. On écrit alors :

(x − q)^{∗}β = ((x, q) ∘ α)^{∗}β = α^{∗}(x, q)^{∗}β,

d’où :

φ_{q}(x) = φ(x − q) = f((x − q)^{∗}β) = (f ∘ α^{∗})((x, q)^{∗}β).

Utilisant maintenant pour φ_{q} la forme intégrale de la fin du paragraphe précédent on a donc :

J_{L(d−z)}(φ_{q}) = ∫_{K_{y,q}}(f ∘α^{∗})(X^{∗}β) (π^{−Lz/2} \frac{Γ_{N+M}(\frac{d−z}{2} )Γ_{2N}(d/2)}{Γ_{2N}(\frac{d−z}{2} )Γ_{N+M}(d/2)}(det(y, q)^{∗}β)^{z/2}(det X^{∗}β)^{−z/2}) dX.

Posons pour simplifier :

h(z) = π^{−Lz/2} \frac{Γ_{N+M}(\frac{d−z}{2} )Γ_{2N}(d/2)}{Γ_{2N}(\frac{d−z}{2} )Γ_{N+M}(d/2)}.

Notant E_{1}, E_{2} (resp F_{1}, F_{2}) les deux copies de l’espace E (resp. du sous-espace F) considérées, on a donc :

J_{L(d−z)}(φ_{q}) = h(z) ∫_{Hom(E⊕E,V)}(f ∘ α^{∗})(X^{∗}β)δ_{\{X|_{E_{2}}=q, X|_{F_{1}}=y\}}(\frac{det(X|_{F_{1}⊕E_{2}}^{∗}β)}{det(X^{∗}β)})^{z/2} dX.

Comme le support de l’intégrand est contenu dans l’espace des X tels que X|_{F_{2}} = 0 les deux formes quadratiques sont dégénérées. On lève l’indétermination en choisissant un supplémentaire G de F dans E muni d’un élément de volume compatible avec ceux de E et de F, et on note q|_{G} = q_{0}, ce qui donne :

J_{L(d−z)}(φ_{q}) = h(z) ∫_{Hom(E⊕G,V)}(f ∘ α^{∗})(Y^{∗}β)δ_{\{Y |_{G_{2}}=q_{0}, Y |_{F_{1}}=y\}}(\frac{det(Y |_{F_{1}⊕G_{2}}^{∗}β)}{det(Y^{∗}β)})^{z/2} dY.

(...)

Essai d’approche générale

On essaie de donner un sens à la régularisation dimensionnelle pour une classe de fonctions plus générale. Soit F une classe de fonctions sur ℝ^{d} à valeurs dans ℂ (à préciser). Soit H(ℂ, F) l’espace des fonctions holomorphes à valeurs dans F, i.e. l’ensemble des fonctions φ sur ℝ^{d} × ℂ telles que z ↦ φ(x, z) holomorphe pour tout x ∈ ℝ^{d}, et x ↦ ∂_{z}^{n}φ(x, z) ∈ F pour tout z ∈ ℂ et pour tout entier positif n. On va chercher un opérateur linéaire E : F → H(ℂ, F) tel qu’on puisse raisonnablement écrire :

∫_{ℝ^{d−z}} φ(x) dx = ∫_{ℝ^{d}} Eφ(x, z) dx.

On peut voir l’opérateur E comme une famille holomorphe d’opérateurs :

E_{z} : F ⟼ F

avec E_{0} = Id. Compte tenu des axiomes de Wilson, il est naturel de demander à la famille d’opérateurs E_{z} de vérifier les deux conditions suivantes :

\begin{matrix}1. E_{z}(τ_{y}φ) = τ_{y}E_{z}φ \\ 2. E_{z}(H_{t}φ)(x) = t^{−z}E_{z}(φ)(t^{−1}x). \end{matrix}

Ces deux conditions expriment une covariance de E = (E_{z}) sous l’action du groupe G = ℝ^{+∗} ×^{|} ℝ^{d}, produit semi-direct des homothéties et des translations de ℝ^{d}. Soit g = (t, y) ∈ G. On fait agir G sur F par :

π(g)φ(x) = φ(g.x) = φ(t(x − y)).

On fait également agir G sur H(ℂ, F) par :

Π(g)ψ(x, z) = t^{−z}ψ(g.x, z) = t^{−z}ψ(t(x − y), z).

Les deux conditions s’expriment alors par :

E(π(g)φ) = Π(g)Eφ.

Les opérateurs E_{z} étant invariants par translation (compte tenu de la condition 1.), ils sont donnés par la convolution par une distribution :

E_{z}(φ) = T_{z} ∗ φ.

La deuxième condition impose à la distribution T_{z} d’être homogène de degré −d − z. Une possibilité est de choisir :

T_{z} = Φ_{−d−z}

où la famille (ϕ_{λ})_{λ∈ℂ} est définie de la manière suivante : soit r(x) = ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{d}^{2}}. Pour tout λ ∈ ℂ, λ ≠ −d, −d − 2, −d − 4, … la fonction x ↦ r^{λ} se prolonge sur ℝ^{d} en une distribution radiale homogène de degré λ ([G-S] § I.3.9). Cette famille de distributions est méromorphe en λ avec pôles simples en λ = −d, −d − 2, −d − 4, . . .. La famille de distributions :

Φ_{λ} = \frac{2}{Vol S^{d−1}Γ(\frac{λ+d}{2})}r^{λ}

est donc holomorphe en λ, chaque Φ_{λ} est homogène de degré λ pour tout λ ∈ ℂ, et les valeurs aux pôles −d − 2k sont données par :

Φ_{−d−2k} = \frac{(−1)^{k}}{2^{k}d(d + 2) ⋯ (d + 2k − 2)}Δ^{k}δ

où Δ est le laplacien en δ la masse de Dirac en 0. En particulier on a :

Φ_{−d} = δ.

Il est donc raisonnable de poser :

∫_{ℝ^{d−z}} f(x) dx = h(z) ∫_{ℝ^{d}}(Φ_{−d−z} ∗ f)(x) dx,

où h est une fonction holomorphe de z choisie telle que :

∫_{ℝ^{d−z}} e^{−∥x∥^{2}} dx = π^{\frac{d−z}{2}} .

On a une remarquable formule pour la transformée de Fourier de Φ_{λ} ([G-S] § III.3.5) :

Φ̂_{λ} = (2π)^{d/2}2^{λ+d/2}Φ_{−λ−d}.

Références

[C] J. Collins, Renormalization, Cambridge (1989).

[E] P. Etingof, Notes on dimensional regularization, in P. Deligne et al., Quantum fields and

strings : a course for mathematicians vol. I, AMS/IAS, 597-607 (1999). [G-S] I.M. Gel’fand, G.E. Shilov, Generalized functions I, English translation, Academic Press,

1964