Contrôle, Problème inverse et Applications

Lundi 29 septembre - Mercredi 1 octobre 2014 à Clermont-Ferrand

 Présentation Dans le cadre du GDRE CONEDP (Contrôle des équations aux dérivées partielles) et du GDR Catia, des journées contrôle/problème inverses sont organisées à Clermont-Ferrand du lundi 29 septembre au mercredi 1 octobre 2014, au laboratoire de mathématiques (UMR 6620 CNRS/UBP) de l'Université Blaise Pascal. Ces journées sont organisées par Nicolae Cindea et Arnaud Münch Les journées présenteront des communications sur des avancées récentes dans des domaines aux interfaces entre l'analyse numérique, le calcul des variations et l'analyse des EDPs. Elles s'adressent à des spécialistes, chercheurs confirmés et jeunes chercheurs en formation (doctorants et postdoctorants).  Conférenciers Farid AMMAR-KHODJA (Université Franche-Comté, Besancon) Kais AMMARI (Université de Monastir, Tunisie) Mehdi BADRA (Université de Pau) Sébastien COURT (Clermont-Ferrand) Michel CRISTOFOL (Aix-Marseille Université) Jeremi DARDE (Université de Toulouse) Michel DUPREZ (Université Franche-Comté, Besancon) Enrique FERNANDEZ-CARA (Université de Seville) Pierre JOUNIEAUX (Université Paris VI) Philippe MOIREAU (Inria Saclay, Paris) Serge NICAISE (Université de Valenciennes) Francisco PERIAGO (Université de Cartagene (Espagne)) Christophe PRIEUR (CNRS, Grenoble) Emmanuel TRELAT (Université PARIS VI) Julie VALEIN (Université de Nancy)  Programme Lundi 29 septembre Accueil des participants à partir de 12 h. 14 h 00 - 15 h 00 : Emmanuel Trélat (Paris 6) Contrôle sparse et stabilisation de modèles de comportement collectif. Exposé 15 h 00 - 16 h 00 : Christophe Prieur (Grenoble) Stabilité des systemes hyperboliques avec des commutations. Exposé Café, rafraîchissements 16 h 20 - 17 h 20 : Serge Nicaise (Valenciennes) Polynomial decay rate for a wave equation with a general acoustic boundary condition. Exposé 17 h 20 - 18 h 20 : Kais Ammari (Monastir) Nonlinear stabilization via a linear observability. Exposé Mardi 30 septembre 9 h 00 - 10 h 00 : Francisco Periago (Cartagene) Robust shape optimization for stochastic elliptic PDEs. Exposé Café, rafraîchissements 10 h 20 - 11 h 20 : Michel Cristofol (Marseille) Inverse parabolic problems. Exposé 11 h 20 - 12 h 20 : Jeremi Darde (Toulouse) The exterior approach applied to the inverse obstacle problem for the heat equation. Exposé Déjeuner sur place. 14 h 00 - 15 h 00 : Julie Valein (Nancy) Observers for populations dynamics. Exposé 15 h 00 - 16 h 00 : Farid Ammar-Khodja (Besancon) Controllability of parabolic systems with delay. Exposé Rafraîchissements. 16 h 20 - 17 h 20 : Philippe Moireau (Inria-Saclay) Observers based on front data for PDE models of propagative phenomena. Exposé 17 h 25 - 17 h 55 : Pierre Jounieaux (Paris VI) Optimisation de la forme des zones d'observation frontiere pour l'équation des ondes. Exposé 18 h 00 - 18 h 30 : Michel Duprez (Besancon) Partial controllability for parabolic systems. Exposé Dîner. Mercredi 1 octobre 9 h 00 - 10 h 00 : Sébastien Court (Clermont-Ferrand), Moving interfaces in Control and Inverse problems: Theory and numerical simulations. Exposé Café. 10 h 20 - 11 h 20 : Medhi Badra (Pau) Feedback stabilization of a fluid-rigid body interaction system. Exposé 11 h 20 - 12 h 20 : Enrique Fernández-Cara (Seville), Some recent results concerning the theoretical and numerical controllability of PDEs. Exposé Déjeuner - Clôture  Résumés des exposés Farid Ammar-Khodja Title : Controllability of parabolic systems with delay. Kais Ammari Title : Nonlinear stabilization via a linear observability. Abstract : We consider the problem of sharp energy decay rates for nonlinearity damped abstract infinite dimensional systems. Direct methods for nonlinear stabilization generally rely on multiplier techniques, and thus are valid under restrictive geometric conditions compared to the optimal geometric optics condition of Bardos et al. We prove sharp, simple and quasi-optimal energy decay rates through an indirect method, namely an observability estimate for the corresponding undamped system. One of the main advantage of these results is that they allow to combine optimal geometric conditions, as for instance that of Bardos et al. and the optimal-weight convexity method of the Alabau-Boussouira to deduce very simple and quasi-optimal energy decay rates for nonlinearly damped system. Our results extend to nonlinearly damped systems. This is a joint work with Fatiha Alabau-Boussouirra. Mehdi Badra Title : Feedback stabilization of a fluid-rigid body interaction system. Abstract : In this talk we present recent results, obtained in collaboration with Takeo Takahashi, concerning the feedback stabilization of a fluid-structure system. We consider a system composed by an incompressible viscous fluid and a rigid body. We stabilize the position and the velocity of the rigid body and the velocity of the fluid around a stationary state by means of a Dirichlet feedback control, localized on the exterior boundary of the fluid domain and with values in a finite dimensional space. Our method is based on general arguments for stabilization of nonlinear parabolic systems combined with a change of variables to handle the fact that the fluid domain of the stationary state and of the stabilized solution are different. The main point is the use of a {\sc Hautus-Fattorini} test to prove the stabilizability of a linearized system. In a first step we present our approach with a simplified 1-d fluid particle system introduced by Vasquez and Zazua. In a second step we turn to the 2-d or 3-d system which consists in a coupling of the Navier-Stokes equations satisfied by the velocity of the fluid and of the equations of the rigid body obtained from Newton's laws. Sebastien Court Title : Moving interfaces in Control and Inverse problems: Theory and numerical simulations. Abstract : Addressing PDE problems that involve moving boundaries is a delicate issue since the geometry of the domain can make part of the unknowns and generates strong linearities. In control problems, the way the boundary evolves through the time can be imposed in order to influence the behavior of the whole system. To illustrate this, we will present the problem of a solid immersed inside a viscous incompressible fluid, and which can deform itself in order to interact with the environing fluid and then indirectly command its position. Simulating this kind of situations could lead to consider moving computational domains; Instead of that, we use finite element formulations with a {\it fictitious domain} approach for which the boundary does not fit to the mesh: the goal is to change the less things we need when the boundary moves through the time. An other illustration of this class of methods lies in an algorithmic framework. For instance, for solving numerically an inverse problem, the iterative update of an interface does not necessitate to re-mesh the whole domain. It leads to a gain of time computation and resources. We will take a look at an inverse problem consisting in recovering information (position, shape) on a crack responsible for displacement discontinuities inside a volcano. The data we have are measurements on the surface of the volcano. Michel Cristofol Title : Inverse parabolic problems : Uniqueness results via pointwise measurements method Résumé : A partir d'un problème élémentaire : la détermination du potentiel pour un problème parabolique linéaire, je vais rappeler les résultats obtenus qui utilisent deux des principales méthodes exploitées dans la résoluation des problèmes inverses : L'opérateur de Dirichlet Neumann et les inégalités de Carleman. Puis je proposerai pour le même problème une nouvelle approche et je soulignerai les points forts et les points à améliorer pour chacune de ces méthodes. Jeremi Darde Title : The exterior approach applied to the inverse obstacle problem for the heat equation Abstract : We consider the problem of reconstructing fixed obstacles characterized by a Dirichlet condition for the heat equation, from the knowledge of a pair of Dirichlet X Neumann data on a subpart of the boundary, and for all instant t in (0,T). We show that the exterior approach, initially developed for elliptic obstacle problems, can be adapted to this parabolic obstacle problem. In particular, we develop new quasi-reversibility regularizations for the ill-posed Cauchy problem for the heat equation, which are a key ingredient in the exterior approach algorithm. 2d numerical experiments are presented to illustrate the feasibility of the method. This is a joint work with Éliane Bécache, Laurent Bourgeois et Lucas Franceschini. Michel Duprez Title : Partial controllability of parabolic systems. Enrique Fernandez-Cara Title : Some recent results concerning the theoretical and numerical controllability of PDEs Abstract : We will review some recent theoretical and numerical results dealing with the controllability of parabolic PDEs that provide acceptable answers. Specifically, we will be concerned with: We will review some recent theoretical and numerical results that provide acceptable answers. Specifically, we will be concerned with a) Internal and boundary controllability results for some turbulence models (the Leray-$\alpha$ model, the Ladyzhenskaja-Smagorinsky model, etc.). b) Hierarchical controllability and its applications. c) Bilinear controllability and related fields. Pierre Jounieaux Titre : Optimisation de la forme des zones d'observation frontière pour l'équation des ondes Résumé : Dans cet exposé on considère l'équation des ondes sur un domaine de Rn supposé régulier. Soit Gamma une surface de la frontière supposé observable. On peut alors définir la constante d'observabilité associée a Gamma. L'interet de cette constante est de rendre compte de la qualité de la reconstruction dans le problème inverse qui consiste a reconstruire les données initiales a partir de la mesure de la solution sur Gamma. Ainsi l'étude de cette constante s'applique entre autres a la détermination de la forme et du placement optimaux de capteurs, pour la mesure de toute sorte de phénomenes ondulatoires (imagerie médicale, accoustique, structures mécanique, etc). Le but de cet exposé est donc de déterminer les surfaces Gamma de taille prescrites qui maximisent cette constante d'observabilité. Au travers d'une procédure de "randomization" du critère, nous exposerons comment on peut caracteriser ces domaines optimaux, nous présenterons également un certain nombre de simulations numériques ainsi que des exemples de résolutions explicites pour des domaines particuliers. Ces travaux ont été réalisés en collaboration avec Yannick Privat et Emmanuel Trelat. Philippe Moireau Title : Observers based on front data for PDE models of propagative phenomena. Abstract :Numerous natural phenomena involve traveling wave propagation. Depending of the situation they can be modelled by hyperbolic systems, or sometimes reaction diffusion systems. For example, in the second case, we can think of fire front propagation, or tumour growth, or ionic wave in electrophysiology. When such phenomena are observed in real life, it is very common that the exact values of the underlying physical quantities are not directly accessible whereas the location of the propagating front is measured. This is typically the case when the measurement process involves images (satellite images of the fire propagation, for instance, or medical images for the physiological phenomena). In this work, we consider the problem of data assimilation of front measurements for such models in order to formulate an observer - namely a sequential estimator - that is able to filter possible uncertainties in the initial conditions, and eventually identify some unknown model parameters. This observer will be mathematically justified under small errors assumptions, and its robustness will be numerically demonstrated. Eventually it allows to register in time the model to a specific actual situation and therefore enable improved, trully predictive, simulations of these natural phenomena. Serge Nicaise Title : Polynomial decay rate for a wave equation with a general acoustic boundary condition Abstract : We investigate the stability of the solution of a one dimensional wave equation with a Dirichlet boundary condition at one end and a dynamical boundary condition, generalizing the well known acoustic boundary condition, at the other. First, we introduce the considered system and prove the existence and uniqueness of its solution. Second, we study the behavior of the spectrum of both the dissipative system and the associated conservative system to establish an observability inequality, from which we deduce the polynomial stability. We further investigate the optimality of the decay. In order to illustrate the results, we finally present some examples. Francisco Periago Title : Robust shape optimization for stochastic elliptic PDEs Abstract :The presentation shall review on recent results concerning robust shape op- timization for stochastic elliptic PDEs. As a toy model, a shape optimiza- tion problem for an elliptic partial di erential equation with uncertainty in its input data (force term, diffusion coefficient and boundary conditions) is considered [1]. The design variable enters the lower-order term of the state equation and is modelled through the characteristic function of a measur- able subset of the spatial domain. As usual, a measure constraint is imposed on the design variable. In order to compute a robust optimal shape, the objective function involves a weighted sum of both the mean and the vari- ance of the compliance. Since the optimization problem is not convex, a full relaxation of it is rst obtained. The relaxed problem is then solved numerically by using a gradient-based optimization algorithm. To this end, the adjoint method is used to compute the continuous gradient of the cost function. Since the variance enters the cost function, the underlying adjoint equation is non-local in the probabilistic space. Both, the direct and adjoint equations are solved numerically by using a sparse grid stochastic colloca- tion method. A number of numerical experiments illustrate the theoretical results and show the computational issues which arise when uncertainty is quanti ed through random elds. [1] Martnez-Frutos, J., Kessler, M., Periago, F., Robust optimal shape design for an elliptic PDE with uncertainty in its input data, Submitted. Christophe Prieur Titre : Stabilité des systemes hyperboliques avec des commutations. Résumé : Le but de cet exposé est de présenter des conditions de stabilité pour les EDP hyperboliques linéaires presentant des sauts dans les conditions aux bords et la vitesse. Les conditions mises en oeuvre sont constructives et numériquement vérifiables. Elles reposent sur la théorie de Lyapunov. Nous présenterons également des résultats de controle par retour d'état en utilisant des contrôles à commutation pour des lois de conservation. Emmanuel Trelat Titre : Contrôle sparse et stabilisation de modèles de comportement collectif Résumé : Au cours des dernières années, on a assisté à un intérêt croissant de l'étude du comportement collectif de foules, d'animaux, d'évolution de langages, d'opinions, etc. Le modèle de Cucker-Smale (2007) a notamment inspiré de très nombreux travaux récents sur le sujet, autour du phénomène d'émergence de consensus dans un système complexe. On soulève ici la question du contrôle de ce type de systèmes "multi-agents", qui sont des systèmes fortement couplés. Naturellement, on souhaite contrôler, à tout instant, le plus petit nombre possible d'agents (par exemple un chien contrôlant globalement un troupeau de moutons). Sur un modèle de type Cucker-Smale, j'expliquerai la notion de "contrôle sparse" et la technique de stabilisation optimale que nous avons mise en oeuvre, dans un travail récent avec M. Caponigro, M. Fornasier, et B. Piccoli. L'objectif est de stabiliser de manière "sparse", et en temps fini, une configuration initiale quelconque vers une configuration de flocking. Julie Valein Title : Observers for populations dynamics. Abstract : We consider the McKendrick-Von Foester system with diffusion. The aim of this talk is to contruct an observer for this system in order to recover the distribution density of the population at any age, any time large enough and any spatial position, knowing the distribution density of the population at any time but only on a small region and on an age interval. The construction of the observer is based on the spectral properties of the population operator and on the method of Badra and Takahashi (i.e. splitting in a finite dimensional system to be stabilized and an infinite dimensional stable system). This is joint work with Karim Ramdani and Marius Tucsnak.  Renseignements pratiques 1. Les exposés se dérouleront dans l'amphi Hennequin du laboratoire de mathématiques de l'Université Blaise Pascal, (UMR 6620 CNRS/UBP), sur le campus des Cézeaux. Voir ici : situation du campus, plan du campus, photo du bâtiment (numéro 7 sur le plan). 2. Les frais locaux des participants sont pris en charge par les organisateurs. Pour les doctorants et les jeunes chercheurs, les frais de transports peuvent également être pris en charge (en faire la demande). Pour toute question, s'adresser à Nicolae Cindea et Arnaud Münch (coordonnées complètes disponibles sur la page web du Laboratoire de Mathématiques ici.)  Soutiens financiers Ces journées sont organisées avec le soutien financier de l'Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand), du Laboratoire de Mathématiques de l'Université Blaise Pascal (UMR 6620 CNRS/UBP), du GDR/GDRE CONEDP , du Conseil Régional d'Auvergne, et du Conseil Général du Puy-de-Dôme.