Présentation du travail de thèse

Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires
Thèse de doctorat soutenue le 27 septembre 2004 à l'Université P. et M. Curie -- Paris VI (UMR n° 7586)
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Résumé : Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d'isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique première p, appelé module supersingulier. Ce groupe est muni d'une structure de module de Hecke. Nous le comparons tout d'abord à d'autres tels modules : l'ensemble des formes modulaires de poids 2 pour $\Gamma_0(p)$ et l'homologie de la courbe modulaire $X_0(p).$ Nous donnons des interprétations et des applications des formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre le module supersingulier et la géométrie de $X_0(p)$ nous permettent d'appliquer ces résultats à l'étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers p pour lesquels le quotient de $X_0(p) (r>1)$ par l'opérateur d'Atkin-Lehner n'a pour points rationnels que les pointes et les points CM (c'est à dire ceux tels que la courbe elliptique sous-jacente soit à multiplication complexe).

Jury :
M. Sebastiaan Edixhoven (Leiden) Rapporteur   
M. Michael Harris (Paris 7) 
M. Loic Merel (Paris 7)   Directeur
M. Jean-Francois Mestre (Paris 7)  Président
M. Jan Nekovář (Paris 6)
M. Jacques Tilouine (Paris 13)  Rapporteur