Mas 2012

Journées MAS 2012

Titre de la session : Inférence statistique des processus de sauts.

Organisateur : Emmanuelle Clément (Université Paris-Est Marne-la-Vallée)

Description de la session :

L’objet de cette session est de présenter quelques résultats récents autour de l’estimation de processus de sauts, à partir d’observations en temps discret du processus. Les processus les plus couramment étudiés sont les processus de diffusion où la composante de sauts est représentée par un processus de Poisson composé ou un processus de lévy. Nous aborderons, dans un premier temps, la notion d’efficacité des procédures d’estimation des sauts ou d’une fonctionnelle des sauts, pour une diffusion avec sauts. Des méthodes d’estimation de la tendance du processus seront également présentées.

D’autres types de processus (processus de Hawkes), basés sur des processus pontuels, suscitent un intérêt statistique et sont à l’origine de travaux récents. Pour ces processus, des théorèmes limites seront établis ainsi que des applications statistiques basées sur des données hautes fréquences.

Orateurs :

Arnaud Gloter (Université d’Evry, orateur principal)

Titre : Bornes inférieures asymptotiques pour l’estimation d’une diffusion avec sauts.

Résumé : Nous étudions le problème de l’efficacité pour l’estimation de l’amplitude des sauts d’un processus stochastique. Nous prouvons une propriété LAMN dans le cas où les instants de sauts sont aléatoires, et l’amplitude des sauts est considérée comme un paramètre inconnu que l’on cherche à estimer.

Nous étudions ensuite le cas où les amplitudes des sauts sont aussi aléatoires. Dans ce cadre, nous montrons une borne inférieure, de type théorème de convolution de Hajek, pour l’estimation de l’amplitude des sauts.

Sylvain Delattre (Université Denis Diderot)

Titre : Scaling limits for Hawkes processes.

Résumé: We prove a law of large numbers and a functional central limit theorem for multivariate Hawkes processes observed over a time interval [0,T] in the limit T →∞. We further exhibit the asymptotic behaviour of the covariation of the increments of the components of a multivariate Hawkes process, when the observations are imposed by a discrete scheme with mesh Δ over [0,T] up to some further time shift τ. The behaviour of this functional depends on the relative size of Δ and τ with respect to T and enables to give a full account of the second-order structure.

Khalil Dayri (Ecole Polytechnique)

Titre : Estimation non paramétrique de processus de Hawkes symétriques. Applications aux données financières hautes fréquences.

Résumé: We define a numerical method that provides a non-parametric estimation of the kernel shape in symmetric multivariate Hawkes processes. This method relies on second order statistical properties of Hawkes processes that relate the covariance matrix of the process to the kernel matrix. The square root of the correlation function is computed using a minimal phase recovering method. We illustrate our method on some examples and provide an empirical study of the estimation errors. Within this framework, we analyze high frequency financial price data modeled as 1D or 2D Hawkes processes. We find slowly decaying (power-law) kernel shapes suggesting a long memory nature of self-excitation phenomena at the microstructure level of price dynamics.

Emeline Schmisser (Université de Lille 1)

Titre : Estimation non paramétrique pour des diffusions à sauts.

Résumé : On considère une diffusion à sauts:

dXt = b(Xt)dt + σ(Xt- )dLt et  X0 =  η
Lt est un processus de Lévy de sauts purs centré:
                            ∫

dXt =  b(Xt )dt+ σ(Xt)dWt  +   σ(Xt- )z˜μ(dt,dz )
avec μ une mesure de Poisson d’intensité ν(dz)dt et ˜μ la mesure de Poisson compensée.

On observe ce processus à des temps t = 0,Δ,,nΔ où Δ 0 et nΔ →∞). Le processus (Xt )t0 est supposé strictement stationnaire et exponnentiellement β-mélengeant. Nous estimons la fonction de dérive b sur un intervalle compact A. Pour cela, nous considérons une famille de sous-espaces vectoriels (Sm) de L2(A) et nous construisons une famille d’estimateurs ˆb m Sm en minimisant la fonction de contraste de moindres carrés:

          n
        1∑                 2             X-(k+1)Δ---Xk-Δ
γn(t) = n    (t(Xk Δ)- Yk Δ)   o`u  Yk Δ =       Δ       .
         k=1
Nous choisissons ensuite le meilleur estimateur ˆb ˆm en introduisant une fonction de pénalité.