Mas 2012

Session Cartes planaires aleatoires

Session Cartes planaires aléatoires


1 Nicolas Curien “Introduction aux cartes planaires aléatoires"

Dans cet exposé, nous effectuerons un rapide survol de l’étude probabiliste des grands graphes planaires aléatoires. Né au début des années 2000, motivé par des applications en physique théorique, combinatoire et géométrie, ce champ de recherche s’est beaucoup développé depuis. L’objectif principal est de comprendre la structure à grande échelle de graphes (ou cartes) planaires uniformes lorsque la taille tend vers l’infini. L’année dernière, Le Gall et Miermont ont montré qu’à la limite, une surface aléatoire (la carte brownienne) apparaît et peut être vue comme la généralisation du mouvement brownien en dimension 2. Nous ferons un rapide état de l’art sur le sujet et présenterons les problèmes ouverts et perspectives dans le domaine.

2 Jérémie Bettinelli “Limite d’échelle de cartes aléatoires en genre quelconque"

Lors de cet exposé, nous essayerons de comprendre à quoi ressemble une grande carte aléatoire en tant qu’espace métrique. Nous verrons que, pour certaines classes particulières de cartes, il est possible d’établir des résultats de convergence de ces espaces métriques, convenablement renormalisés. Les objets limites que l’on obtient ainsi ont des propriétés métriques et topologiques remarquables que nous tâcherons de présenter.

Au cours de cet exposé, nous définirons les objets considérés, exposerons certains résultats fondamentaux du domaine et présenterons les deux principaux outils utilisés. Le premier est dû essentiellement à Schaeffer et permet de coder les cartes par des objets plus simples (typiquement des arbres dont les sommets portent des étiquettes entières). Le second est la notion de convergence régulière introduite dans les années 30 par Whyburn et donnant une condition suffisante de conservation du genre d’une suite d’espaces métriques par passage à la limite.

3 Nicolas Chenavier “Quelques résultats sur les valeurs extrêmes d’une mosaïque de Poisson-Voronoï"

Une mosaïque de Poisson-Voronoï est une partition de l’espace euclidien en des polytopes aléatoires appelés cellules. Cet objet modélise divers types de problèmes notamment en télécommunication, en astrophysique et en biologie. Dans la littérature, beaucoup de travail a été effectué sur le caractère moyen des cellules mais pas, à notre connaissance, sur le caractère pathologique de certaines d’entre elles.

Dans cet exposé, on étudie la mosaïque par une approche inédite en géométrie aléatoire : celle des valeurs extrêmes. Etant donnée une mosaïque de Poisson-Voronoï observée dans une fenêtre, on s’intéresse au comportement limite de divers extrêmes des cellules de la fenêtre, comme le maximum et le minimum de leurs volumes, de leurs diamètres et du nombre de leurs sommets, lorsque la fenêtre tend vers l’infini.

Cette approche permet d’étudier la régularité de la mosaïque et de discriminer certains modèles. On commencera par présenter des outils de géométrie aléatoire puis on donnera quelques résultats sur les valeurs extrêmes de la mosaïque de Poisson-Voronoï.

4 Julien Courtiel “Cartes planaires équipées d’une forêt couvrante"

Dans un travail récent, Olivier Bernardi et Mireille Bousquet-Mélou ont prouvé que la série génératrice des cartes planaires pondérées par leur polynôme de Potts (un polynôme bivarié qui généralise le polynôme chromatique) satisfait une équation différentielle algébrique (énorme). Ce résultat est remarquable, mais sa preuve, très technique, n’éclaire guère la combinatoire de ces cartes.

On se concentrera ici sur une spécialisation à une variable du polynôme de Potts, qui compte les forêts couvrantes selon le nombre de composantes connexes. Partant d’une construction de Bouttier, Di Francesco et Guitter (2007), nous établissons, de manière combinatoire, des équations fonctionnelles pour la série étudiée, dont découlent ensuite les équations différentielles cherchées.

5 Igor Kortchemski “La triangulation brownienne : une limite universelle de configurations planaires non-croisées aléatoires"

Nous nous intéresserons à divers modèles de configurations non-croisées aléatoires constituées de diagonales de polygônes convexes qui ne se coupent pas (telles que les triangulations uniformes, dissections, partitions non-croisées ou encore arbres non-croisés). Lorsque le nombre de sommets du polygône est très grand, ces configurations discrètes ressemblent à un même objet aléatoire continu: la triangulation brownienne du disque. Nous expliquerons l’origine de ce phénomène dit d’universalité et donnerons d’intéressantes conséquences combinatoires concernant la longueur de la plus longue diagonale ou le degré maximal d’un sommet. Travail en collaboration avec Nicolas Curien.