Nous nous intéresserons dans cette session au problème suivant. Supposons qu’une compagnie d’assurance dispose d’un capital initial de u millions d’euros. Celle ci obtient de ses souscripteurs un montant de cotisation de taux variable au cours du temps (qui peut dépendre du montant du capital à chaque instant), mais doit les dédommager à des instants aléatoires de sinistres de montants aléatoires. Traditionnellement, le capital de cette compagnie d’assurance est modélisé par un processus {X_t ,  t ≥ 0} satisfaisant une équation différentielle (éventuellement stochastique) à sauts négatifs. Le processus le plus simple, mais encore largement étudié, est issu du modèle de Sparre-Andersen, et correspond à des taux de cotisation constants et à des sinistres survenant selon un processus de renouvellement. La théorie de la ruine étudie alors la distribution du temps de premier passage sous 0 de {X_t ,  t ≥ 0}

qui est l’instant de faillite de la compagnie, éventuellement jointement à celle d’autres quantités aléatoires telles que l’état du processus avant et lors de la ruine X_τ- et X_τ. Ce thème est d’actualité puisque les nouvelles dispositions en matière de solvabilité des compagnies d’assurance (Solvabilité II) imposent le contrôle de cette probabilité de ruine à un horizon d’un an. Nous proposons dans cette session de présenter des résultats récents sur des extensions de ce modèle, et d’évoquer plus précisément les points suivants:

• l’influence de la réassurance, ce qui revient à étudier un problème de ruine en dimension supérieure à 1,
• l’étude de mesures de risque associées à ces modèles: calcul ou estimation,
• l’influence de la dépendance entre les risques,
• certains modèles à temps discret.
   

La liste partielle proposée des orateurs pour cette session est la suivante:

• Avram Florin, Université de Pau et des Pays de l’Adour: "On moments based matrix-exponential approximations of the Pollaczek-Khinchine formula"
• Dutang Christophe, ISFA Lyon et AXA: "New asymptotics for the ultimate ruin probability".
  Résumé: In the wide area of risk theory, ruin theory focuses on the long term ruin of an insurance company. At the beginning of the XX^th century, Swedish actuaries Lundberg and Cramér introduce the fundamentals of continuous-time risk models. In the Cramér-Lundberg model, claim arrival is a Poisson process and claims are i.i.d. light tail random variables. Andersen(1957) extends the Cramér-Lundberg by considering general renewal process.
  Since then, extensions have been proposed in many directions, Asmussen & Rolski (1991) study ruin models with phase-type distributions both for claim intensity and claim arrival processes. Gerber & Shiu (1998) unify the analysis of ruin measures in the Cramér-Lundberg model, such as the deficit at ruin, the claim causing the ruin or the ruin probability, in a single function: a discounted penalty function. Gerber & Shiu (2005) and Song et al. (2010) extends the Gerber-Shiu to a wider class of risk models. Other classic extensions of the Sparre Andersen model include non-homogeneous claim arrival process, e.g. Lu & Garrido (2005), reinsurance treaties, e.g. Centeno (2002), multi line-of-business model, e.g. Collamore (1996) and dependent risk process, e.g. Albrecher & Boxma (2004), Boudreault et al. (2006), Albrecher & Teugels (2006).
  The ruin probability ψ(u) is the main measure of ruin in the actuarial literature. In the Sparre Andersen model, with light claim size distribution, we have the following asymptotic ψ(u) ~ Ce^-γu as u tends to infinity where γ is a root of a certain equation involving the moment generating function of the generic claim X. Unlike the light-tail setting with an exponential decay of the ruin probability, heavy-tail distributions leads to a polynomial decrease ψ(u) ~ C∕u^α, see e.g. Embrechts & Veraverbeke (1982).
  In this paper, we show an asymptotic rule for a wide class of dependent risk models. Some special cases are also presented.
  Keywords: Ruin theory, Asymptotics, Non-Life insurance
• Loisel Stéphane, ISFA Lyon: "Indicateurs de risque en présence de plusieurs facteurs de risques"
  Résumé: Nous présentons différentes méthodes pour mesurer le risque d’une compagnie d’assurance au niveau agrégé et au niveau de ses branches d’activités, ou en termes de contribution de différents facteurs de risque au risque global. Nous nous intéresserons également au problème d’allocation optimale de la réserve initiale d’une compagnie d’assurance, et aux problèmes d’accélération des méthodes simulatoires utilisées pour déterminer le capital économique (lié à une sorte de matelas de sécurité) d’un assureur.
   

Références.
 
Asmussen S. and Albrecher H. Ruin probabilities, Second Edition. World Scientific, New Jersey, 2010.
 
Lefèvre C., Loisel S. Finite-Time Ruin Probabilities for Discrete, Possibly Dependent, Claim Severities, Methodology and Computing in Applied Probability, 11(3), pp. 425–441, 2009.