Mas 2012

Journées MAS 2012

Titre de la session

Les processus Markoviens déterministes par morceaux et leurs applications
Organisatrice: Nathalie Krell (Université de Rennes 1)

Description de la session

Les processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP) ont été introduits rigoureusement par Davis en 1984 (M. H. A. Davis) comme une classe de processus stochastiques non-diffusifs. L’évolution du PDMP est constitué d’un mouvement déterministe ponctué par des sauts aléatoire. Ces processus ont été très étudiés aussi bien d’un point de vue théorique que d’un point de vue applicatif: par exemple dans les réseaux de communications avec le contrôle de congestion TCP/IP ( V. Dumas et al. ainsi que V. Guillemin et al.), pour le modèle de Hodgkin-Huxley concernant l’activité neuronale (K. Pakdaman, et al.), en fiabilité (B. de Saporta et al.) et pour le mouvement d’une population de bactérie (H. G. Othmer et al. ainsi que R. Erban et H. G. Othmer). Jean-Baptiste Bardet fera une présentation des PDMP avant de présenter son propre travail sur ce sujet. Les 3 exposés suivants illustreront diverses utilisations des PDMP.

Références

B. de Saporta, F. Dufour and K. Gonzalez. Numerical method for optimal stopping of PDMPs, Ann. Appl. Probab. 20 (2010), no. 5, 1607-??1637.

M. H. A. Davis, Piecewise-deterministic Markov processes: a general class of nondiffusion stochastic models, J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 46 (1984), no. 3, 353-388.

V. Dumas, F. Guillemin et Ph. Robert, A Markovian analysis of additive-increase multiplicative-decrease algorithms, Adv. in Appl. Probab. 34 (2002), no.1, 85-111.

R. Erban et H. G. Othmer, From individual to collective behavior in bacterial chemotaxis, SIAM J. Appl. Math. 65 (2004/05), no. 2, 361-391.

V. Guillemin, Ph. Robert et B. Zwart, AIMD algorithms and exponential functionals, Ann. Appl. Probab. 14 (2004), no. 1, 90-117.

H. G. Othmer, S. R. Dunbar et W. Alt, Models of dispersal in biological systems, J. Math. Biol. 26 (1988), no. 3, 263-298.

K. Pakdaman, M. Thieullen and G. Wainrib, Fluid limit theorems for stochastic hybrid systems with application to neuron models, Adv. In Appl. Probab. 42 (2010), no.3, 761-794.

Orateurs, titres et résumés

Jean-Baptiste Bardet (Univ. Rouen, exposé de 40 minutes): Processus de Markov déterministes par morceaux. Comportement en temps long.

Résumé: Après avoir présenté le cadre général des processus de Markov déterministes par morceaux, ainsi que les résultats existants sur la caractérisation de leurs mesures invariantes, je montrerai à partir de l’exemple du processus TCP de contrôle de congestion que les méthodes classiques ne permettent pas d’obtenir de bonnes bornes sur les vitesses de convergence à l’équilibre dans ce cadre. Je présenterai ensuite de nouvelles méthodes pour obtenir des bornes sur les vitesses de convergence, en distance de Wasserstein et en variation totale, pour le processus TCP et dans d’autres exemples. Ces méthodes ont été développées dans un travail en commun avec A. Christen, A. Guillin, F. Malrieu et P.-A. Zitt.

Pierre-André Zitt (Univ. de Bourgogne): Questions de régularité pour certains PDMP.

Résumé: On s’intéresse à la régularité de certains processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP), de type "flot modulé" : on fixe un nombre quelconque de champs de vecteurs dans Rn, et on regarde le processus qui suit un de ces champs puis, en un temps aléatoire, choisit un autre champ à suivre, etc. Pour ces processus, la loi à un instant t est toujours singulière par rapport à la mesure de Lebesgue, contrairement à ce qui se passe dans le cas diffusif. Cependant, sous certaines conditions sur les champs, proches des conditions d’hypo-ellipticité de Hörmander, on peut montrer une régularité partielle en temps fini. Ceci permet dans certains cas d’obtenir l’unicité et la régularité d’une mesure invariante pour le processus, et une convergence exponentielle du processus vers l’équilibre.

Alexandre Genadot (Univ. Pierre et Marie Curie): Infinite Dimensional Piecewise Deterministic Markov Processes and Applications to Neuron Models.

Résumé: Dans cet exposé, nous nous intéresserons au système de Fitzhugh-Nagumo, paradigme de la propagation d’un potentiel d’action le long d’une fibre nerveuse et plus généralement des systèmes excitables. Nous considérerons plus particulièrement une solution sous forme d’onde progressive stationnaire de l’équation de Nagumo qui est une équation de réaction diffusion. Cette onde est exponentiellement stable. Nous couplerons l’équation de Nagumo à une dynamique markovienne de sauts et nous demanderons s’il existe encore une solution sous forme d’onde stationnaire, si celle-ci est stable et en quel sens.

Romain Azais (INRIA et Univ. Bordeaux): Estimation non-paramétrique du taux de saut d’un processus markovien déterministe par morceaux.

Résumé : Je présenterai une méthode non-paramétrique pour estimer la densité conditionnelle associée au taux de saut d’un PDMP défini sur un espace métrique séparable. Dans le cadre de travail choisi, l’estimation ne nécessite qu’une observation du processus en temps long. La méthode s’appuie sur une généralisation du modèle à intensité multiplicative d’Aalen. Je donnerai un résultat de convergence uniforme de l’estimateur sous des hypothèses directement reliées aux caractéristiques du processus et j’illustrerai ce résultat par des simulations.