Les équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) sont un sujet très actif à l’interface de la théorie des probabilités et de l’analyse mathématique, avec des fortes potentialités de modélisation des phénomènes réels. Plusieurs équations jouent un rôle central dans des disciplines importantes, comme Navier Stokes stochastique ou l’équation de Kardar-Parisi-Zhang, qui intervient dans des modèles de croissance d’interface et dont l’étude a connu récemment des progrès spectaculaires.

Dans cette session nous proposons un aperçu de plusieurs lignes de recherche actives en France aujourd’hui dans ce domaine : les grandes déviations, l’approche des rough paths (”trajectoires rugueuses”), les méthodes de discrétisation et des applications à des modèles de biologie.

Les orateurs seront :

1. Mauro Mariani (Univ. de Provence, Marseille). Titre : TBA
2. Aurélien Deya (Univ. de Lorraine, Nancy). Titre : ”Rough paths et EDPS”

   Résumé. Nous présenterons quelques applications de la méthode des trajectoires rugueuses (rough paths) à l’analyse d’équations d’évolution stochastiques : interprétation trajectorielle, extension à un bruit fractionnaire, régularité et approximation des solutions.

3. Charles-Edouard Bréhier (ENS de Cachan - antenne de Bretagne, Rennes). Titre : ”Un schéma numérique multiéchelle pour des EDPS”

   Résumé : On s’intéresse à un système d’EDPS présentant des variations à deux échelles de temps, sous le régime de moyennisation. On décrira un schéma de discrétisation temporelle permettant de traiter efficacement la séparation des échelles de temps, ainsi que les outils mis en jeu: ordre de convergence pour la moyennisation, approximation d’une mesure invariante par un schéma d’Euler.

4. Eric Luçon (Université Pierre et Marie Curie, Paris). Titre : ”Fluctuation SPDE for a model of diffusions in random environment”

   Résumé : We consider a model of oscillators in a mean-field interaction, in the presence of a supplementary randomness (disorder). This class of models has many applications in biological contexts (synchronization of neurons, collective behavior of insects). The random environment captures the fact that each oscillator has a tendency to obey to its natural frequency, chosen randomly at the beginning of the experiment. The purpose of the talk is to understand the behavior of the system in large population, for a fixed realisation of the disorder (quenched model): whereas the empirical measure of the system converges to the solution of a deterministic nonlinear PDE (McKean-Vlasov equation), one can show that the quenched fluctuations around this limit are governed by a linear SPDE. We will show that the analysis of the long-time asymptotics of this SPDE enables to the study the effects of the quenched disorder on a large but finite population of oscillators.