Mas 2012

Modles probabiliste en biologie MAS 2012 Clermont-Ferrand

MODÈLES PROBABILISTE EN BIOLOGIE
MAS 2012
CLERMONT-FERRAND

ORGANISATEUR: J.-F. DELMAS

1. Présentation

De nombreux modèles mathématiques d’évolution de population sont actuellement explorés. Depuis la fin du XXème siècle un effort important est consacré à l’étude des processus généalogiques. Ils se divisent en deux grandes classes suivant que l’on étudie la population du présent vers le futur, ce qui correspond typiquement aux processus de branchement, où du présent vers le passé en regardant en particulier les arbres généalogiques de coalescence.

Les modèles de processus de branchement discret correspondent aux processus de Galton-Watson [1] et à leurs limites continus, les processus de branchement à espace d’état continu (voir par exemple [11]). Ces processus étudiés depuis longtemps posent encore de nombreuses questions. Par exemple les modèles avec branchements non homogènes (i.e. le nombre d’enfants d’un individu dépend de sa localisation) ou branchement rendant compte d’une populations sexuée posent encore de nombreux problèmes mathématiques.

Les modèles de coalescence introduit par Kingman [9], puis Pitman [12] et Sagitov [13] ont permis l’étude d’arbre généalogique pour des populations stationnaires. Pour ces modèles, un outil important est le processus “look-down” introduit par Donnelly et Kurtz [78]. qui permet de décrire une population continue par un système de particule. L’études des arbres généalogiques ou des processus de coalescence est actuellement très soutenue, en particulier avec des problèmes d’interactions entre les individus (sélection, immigration, ...) ou de géométrie des arbres (équilibre, branches externes, nombre de coalescences, ...). Les modèles dynamiques correspondant à l’étude de l’évolution des arbres généalogiques ou spatiaux correspondant à une coalescence dépendant des positions des particules sont par exemple des nouveaux champs d’investigation qui posent de nombreux défis mathématiques.

2. Orateurs

3. V. Bansaye: CSBP en environnement fluctuant

Les processus de branchement sont des processus de Markov qui permettent de modéliser le développement d’une population d’individus asexués se reproduisant indépendamment. Quand la loi de reproduction est invariante au cours du temps, que le temps et l’espace sont discrets, il s’agit du célèbre processus de Galton Watson. Nous savons depuis les travaux de Lamperti que les CSBP (continuous state branching processes) sont les seules limites d’échelles des processus de Galton Watson [410]. On étudiera une généralisation de ces résultats au cas Markov non homogène [3], autrement dit au cas où l’environnement fluctue au cours du temps et affecte la loi de reproduction. Il autorise notamment des sauts négatifs à un temps fixe. Nous proposerons une condition suffisante de convergence en terme d’un triplet caractéristique de mesures. Celle-ci met en évidence une classe naturelle de CSBP en environnement fluctuant caractérisée par un triplet de mesures. On essaiera d’expliquer en quoi cette condition est générale. Nous donnerons aussi quelques exemples et applications motivés par des modèles venant de la biologie. Nous essayerons enfin d’aborder les questions d’explosion et d’absorption de la population, et des problèmes de goulots d’étranglement.

4. P. Vallois: Une modélisation de la taille d’une tumeur traitée par radiothérapie par des chaînes de Markov

Il s’agit d’un travail joint avec T. Bastogne (Laboratoire du CRAN de Nancy) et R. Keinj (Nancy).

Les états successifs d’une cellule cancéreuse soumise à des applications répétées d’un traitement de radiothérapie sont représentés par une chaine de Markov (Zk ) à valeurs dans {0, 1, ⋅⋅⋅, m}. Zk représente la gravité des dommages subis par la cellule après l’application de k fractions de dose et l’état m correspond à la mort cellulaire. Une tumeur est une collection de cellules cancéreuses qui évoluent indépendamment les unes des autres. On s’est intéressé aux questions suivantes :

  1. Mesurer l’efficacité du traitement en prenant comme critère la probabilité que la tumeur soit détruite, après k séances de radiothérapie. On mesure, d’une manière analogue, les dégats occasionnés aux tissus sains avoisinant la tumeur. On propose une méthode pour optimiser ces deux objectifs contradictoires : d’une part détruire la tumeur et d’autre part ne pas endommager les cellules non-cancéreuses.
  2. Considérer le nombre minimal (aléatoire) du traitements à appliquer pour tuer une cellule cancéreuse. Ce qui permet de donner une estimation de la durée de vie moyenne d’une tumeur.
  3. Comment choisir la quantité de dose de radiothérapie à administrer pour éradiquer une tumeur comportant un grand nombre initial de cellules.

5. O. Hénard: Applications de la représentation “look-down”

Le système de particules “look-down” est basé sur un réordonnancement des particules par ordre de longévité. Ce système de particules donne une représentation discrète de processus à valeur mesure usuellement définis par passage à la limite. Nous décrirons deux applications de cette représentation:

6. L. Yuan: Longueur des branches externes du Beta coalescent

Les Λ-coalescents sont des processus markoviens à valeurs partitions qui permettent de décrire la généalogie d’une population dans le cas de coalescences multiples non simultanées. Dans le cas d’une famille de n-individus, nous notons Π(n) la loi du processus de coalescence, et T(n) la longueur d’une branche externe prise au hasard. Lorsque la mesure Λ est une Beta(2 -α, α) avec 1 < α < 2, nous montrons que lorsque n tend vers +, la suite des variables aléatoires nα-1T(n) converge en loi vers une variable aléatoire T dont la fonction de densité est donnée par:

fT(x) =-----1-----(1 + --x--)- αα--1- 11x≥0.
       (α - 1)Γ (α )   αΓ (α)

Pour cela, nous utilisons une construction récursive de Π(n). Cette méthode nous permet aussi de montrer la convergence des longueurs de d branches externes choisies au hasard correctement renormalisées.

References

[1]    K. ATHREYA and P. NEY Branching processes. springer-Verlag. 1972.

[2]    J. AUDIFFREN and E. PARDOUX. Muller’s ratchet clicks in finite time. Preprint

[3]    V. BANSAYE, F. SIMATOS. On the scaling limits of Galton Watson processes in varying environment. Prépublication (2011).

[4]    M. E. CABALLERO, A. LAMBERT, G. URIBE BRAVO. Proof(s) of the Lamperti representation of continuous-state branching processes. Probability survey (2009) 6 62-89.

[5]    J.-F. DELMAS and O. HÉNARD. A Williams decomposition for spatially dependent superprocesses. Preprint

[6]    J.-S. DHERSIN and F. FREUND and A. SIRI-JÉGOUSE and L. YUAN. On the length of an external branch in the Beta-coalescent. Preprint

[7]    P. DONNELLY and T. G. KURTZ. A countable representation of the Fleming-Viot measure-valued diffusion. Ann. Probab., 24(2):698–742, 1996.

[8]    P. DONNELLY and T. G. KURTZ. Particle representations for measure-valued population models. Ann. Probab., 27(1):166–205, 1999.

[9]    J. F. C. KINGMAN. Exchangeability and the evolution of large populations. In Exchangeability in probability and statistics (Rome, 1981), pages 97–112. North-Holland, Amsterdam, 1982.

[10]    J. LAMPERTI. The limit of a sequence of branching processes. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete (1967).

[11]    Z. LI Measure-valued branching Markov processes. Springer, 2011.

[12]    J. PITMAN. Coalescents with multiple collisions. Ann. Probab., 27(4):1870–1902, 1999.

[13]    S. SAGITOV. The general coalescent with asynchronous mergers of ancestral lines. J. Appl. Probab., 36(4):1116–1125, 1999.

Jean-François Delmas, Université Paris-Est, École des Ponts, CERMICS, 6-8 av. Blaise Pascal, Champs-sur-Marne, 77455 Marne La Vallée, France.