Présentation de la session ”Percolation”

Le modèle standard de percolation de Bernoulli sur un réseau euclidien a attiré une attention considérable de la part des mathématiciens ces 40 dernières années. On peut aujourd’hui considérer que les principales questions ouvertes ont trait à la percolation critique, dans la foulée des travaux de Schramm, Werner et Smirnov. Pour une référence, on pourra consulter l’ouvrage désormais classique de Geoffrey Grimmett, ”Percolation”. Plusieurs mathématiciens français participent à  cette exploration, notamment au sein du modèle plus général ”random cluster”. On peut citer notamment Wendelin Werner, bien sûr, mais aussi Vincent Beffara, Christophe Garban, Pierre Nolin et Hugo Duminil-Copin.

L’accent de la session sera porté sur quelques modèles moins standards, de définition un peu plus complexe, dont la nécessité s’est fait sentir pour gagner en réalisme ou pour aborder des questions qui n’avaient pas de sens en percolation de Bernoulli. On parlera du modèle continu de percolation booléenne (Une référence est le livre de Meester et Roy ”Continuum Percolation”) qui consiste à  déposer des boules de rayon aléatoire centrées en des points d’un processus de poisson sur le plan, ainsi que d’une élaboration appelée le modèle Quermass. Dans une autre direction, on parlera également de percolation de premier passage (Références: le cours de Kesten à  Saint-Flour, 1984 actualisé par le survey d’Howard ”Models of first passage percolation”).

Dans ces modèles, un certain nombre de questions élémentaires restent en suspens et ce sont à elles que les exposés de cette session sont dédiés.

Les orateurs:

Le modèle booléen poissonnien dans le plan consiste en l’union de disques de rayons aléatoires et indépendants, centrés en les points d’un processus de Poisson stationnaire. Il croît (au sens de l’inclusion) avec l’intensité z du processus de Poisson si bien que, pour z assez grand, une composante connexe non bornée apparaît : il y a percolation.
Considérons désormais une interaction gibbsienne entre les disques de type Quermass. L’énergie d’une configuration γ (en volume fini) est alors donnée par

où θ₁,θ₂,θ₃ sont des paramètres réels et ,,χ sont les trois fonctionnelles de Minkowski (l’aire, le périmètre et la caractéristique d’Euler-Poincaré). Si par exemple θ₁ est positif et θ₂, θ₃ nuls, les configurations les plus probables sont celles d’aire minimale. C’est exactement l’inverse si θ₁ est négatif.
Nous étudions dans ce nouveau modèle le phénomème de percolation, lorsque l’intensité z du processus de Poisson sous-jacent devient grande et pour différentes valeurs des paramètres θ₁,θ₂,θ₃.

Nous considérons le modèle de percolation de premier passage sur le graphe ℤ^d∕n pour d?2. Nous l’interprétons comme un modèle de roche poreuse : les arêtes du graphes sont de petits tuyaux, auxquels nous associons une famille de capacités aléatoires i.i.d. Soit Ω un domaine de ℝ^d, représentant le morceau de roche poreuse étudié. Soient Γ¹ et Γ² deux ouverts disjoints de ∂Ω qui représentent la zone de ∂Ω à travers laquelle de l’eau peut rentrer dans la roche et en sortir. Une loi des grands nombres pour le flux maximal de Γ¹ à Γ² dans Ω quand n tend vers l’infini est déjà connue. Sous certaines conditions sur la régularité du domaine et sur la loi des capacités des arêtes, nous prouvons la convergence p.s. d’une suite de courants maximaux (respectivement d’ensemble de coupure minimaux) vers l’ensemble des solutions d’un problème de courant continu maximal (respectivement d’ensemble de coupure minimal) non aléatoire.

Je vous présenterai un modèle de percolation de premier passage dépendant associé à un coloriage aléatoire i.i.d. On s’intéressera à la norme qui régit la vitesse de propagation et on verra qu’elle est continue par rapport aux paramètres du coloriage, ce qui se montre à l’aide d’animaux gourmands (greedy lattice animals).

Le modèle booléen est pour nous une réunion de boules de l’espace euclidien dont les centres et les rayons sont aléatoires. Il dépend de 3 paramètres:

• la dimension de l’espace euclidien;
• la loi des rayons;
• la densité du modèle, c’est-à-dire la proportion de l’espace recouverte par le modèle booléen.

La densité critique est la densité au-delà de laquelle le modèle booléen possède au moins une (et en fait une unique) composante connexe non bornée. Nous nous intéressons à la manière dont cette densité critique dépend des deux autres paramètres.