Organisateur : Hacène Djellout (université Blaise Pascal, Clermont Ferrand).

Description de la session :
Le principe des déviatons modérées (PDM) est un sujet d’étude classique de la théorie des probabilités. En effet, dans l’étude des théorèmes limites d’un modèle probabiliste ou statistique, le PDM est un des principaux problèmes qu’on regarde, après les lois des grands nombres, le théorème de la limite centrale (TCL) et les lois du logarithme itéré. Un PDM est un résultat intermédiaire entre le TCL et le principe de grandes déviations (PGD). Souvent le PDM a lieu pour des classes de processus beaucoup plus larges que les PGD et la fonction de taux le régissant est quadratique.

Cette session sera l’occasion de présenter les développements récents sur le PDM pour certaines classe de variables aléatoires indépendantes ou dépendantes, ainsi les applications en statistique : processus linéaires, estimations des paramètres d’un processus autorégressif, estimateurs à noyaux de la densité. Il sera aussi abordé, dans cette session un exemple de modèle où les GD sont connues mais le PDM reste une question ouverte.

Références :

[1] Merlevède F., Peligrad M. Moderate deviations for linear processes generated by martingale-like random variables.,J. Theoret. Probab. 23 (2010), no. 1, 277-300.

[2] Dedecker J.,Merlevède F.,Peligrad M., Utev S. Moderate deviations for stationary sequences of bounded random variables. Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 45 (2009), no. 2, 453-476.

[3] Merlevède F., Peligrad M. Functional moderate deviations for triangular arrays and applications. ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 5 (2009), 3-20.

[4] Mokkadem A., Pelletier M. Thiam, B. Large and moderate deviations principles for kernel estimators of the multivariate regression. Math. Methods Statist. 17 (2008), no. 2, 146-172.

[5] Djellout H., Guillin A.,Wu L. Moderate deviations of empirical periodogram and non-linear functionals of moving average processes. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 42 (2006), no. 4, 393-416.

[6] Gao F., Zhao, X. Delta method in large deviations and moderate deviations for estimators. The Annals of Statistics, (2011), Vol. 39, No. 2, pp. 1211-1240.

[7] Worms, J. Moderate deviations for stable Markov chains and regression models. Electronic. J. Probab. (1999), Vol. 4, pp. 1-28.

Orateurs et titres :

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au principe de déviations modérées (et à sa forme fonctionnelle) pour des suites stationnaires de variables aléatoires dépendantes au sens faible.

Nous verrons dans un premier temps que lorsque les variables sont supposées bornées, le principe de déviations modérées peut être établi, via une approximation martingale adéquate, dès que l’on suppose des conditions projectives. Nous verrons alors que dans de nombreux exemples ces conditions projectives sont satisfaites.

Nous nous intéresserons dans un deuxième temps au principe de déviations modérées pour une classe de suites dépendantes au sens faible de variables aléatoires non nécessairement bornées. La classe considérée inclut les suites géométriquement et sous géométriquement fortement mélangeantes. L’outil principal pour démontrer le principe de déviations modérées est une inégalité de type Bernstein. Nous verrons des applications à certaines classes de chaînes de Markov.

Références.

[1] Dedecker, J., Merlevède, F., Peligrad, M. and Utev, S. (2009). Moderate deviations for stationary sequences of bounded random variables. Ann. Inst. Henri Poincar Probab. Stat. 45, no. 2, 453-476.

[2] Merlevède, F., Peligrad, M. and Rio, E. (2011). A Bernstein type inequality and moderate deviations for weakly dependent sequences. Probab. Theory Related Fields 151, no. 3-4, 435-474.

The purpose of this communication is to investigate moderate deviations for the Durbin-Watson statistic associated with the stable first-order autoregressive process where the driven noise is also given by a first-order autoregressive process. We first establish a moderate deviation principle for both the least squares estimator of the unknown parameter of the autoregressive process as well as for the serial correlation estimator associated with the driven noise. It enables us to provide a moderate deviation principle for the Durbin-Watson statistic in the easy case where the driven noise is normally distributed and in the more general case where the driven noise satisfies a less restrictive Chen-Ledoux type condition.

Les chaînes de Markov bifurcantes (CMBs en abrégé) ont été introduites par Guyon dans le but d’étudier l’effet du vieillissement sur Escherichia Coli (E.Coli). L’objectif de cette communication est d’étudier le comportement non-asymptotique et un principe de déviations modérées pour ces chaînes. Sous l’hypothèse d’ergodicité géométrique uniforme et non-uniforme d’une chaîne de Markov induite, nous établissons des inégalités de déviations pour des sommes proprement normalisées liées à l’observation des états de la CMB. Nous en déduisons ainsi, grâce à la théorie du principe de déviations modérées (PDM) des martingales, un PDM pour les chaînes de Markov bifurcantes. Nous donnons enfin une application à l’étude de la division d’E. Coli.

Références.

[1] V. Bitseki Penda, H. Djellout and A. Guillin. Deviation inequalities, Moderate deviations and some limit theorems for bifurcating Markov chains with application. arXiv:1111.7303 (2011)

[2] J. Guyon. Limit theorems for bifurcating Markov chains. Application to the detection of cellular aging. Ann. Appl. Probab. 17 (2007), no. 5-6, 1538-1569.

Considérons une marche aléatoire symétrique de ZZ^d. On étudie le temps local d’auto-intersections de cette marche (SILT). Cette quantité mesure les intersections de la marche, à savoir si la trajectoire de la marche a tendance revenir sur elle-même ou bien au contraire si elle ne revient jamais sur des sites déjà visités. Le SILT est lié à des modèles physiques de polymères et au modèle mathématiques de marches aléatoires en paysage aléatoire. De nombreux résultats de type Loi des Grands Nombres et Théorèmes Central Limite ont été prouvé pour le SILT. On s’intéresse pour notre part aux grandes déviations du SILT. C’est à dire qu’on s’intéresse à quantifier la probabilité que la quantité d’intersections de la trajectoire de la marche dépasse sa valeur typique. On présente ici un résultat récent de type grandes déviations obtenu en collaboration avec F.Castell et C.Mélot.