Mas 2012

Session Probabilités Numériques, journées MAS 2012

Benjamin Jourdain

Les méthodes numériques probabilistes permettent entre autres de

  1. calculer une espérance en l’approchant par la moyenne empirique d’un échantillon de variables aléatoires i.i.d. suivant une loi de même espérance (méthodes de Monte Carlo et de réduction de variance). Dans de nombreuses applications et notamment en finance, ces variables aléatoires sont des fonctions de la solution d’une équation différentielle stochastique. Il est donc important de construire des schémas de discrétisation efficaces au sens où ils introduisent le biais le plus faible possible pour un effort de calcul donné.
  2. optimiser une fonction qui s’écrit sous forme d’espérance (algorithmes stochastiques).

Cette session abordera ces différents points au travers des exposés de

Aurélien Alfonsi (CERMICS), exposé long
Construction de schémas de discrétisation d’ordre élevé pour l’erreur faible :
En décomposant le générateur infinitésimal d’une EDS, nous expliquerons comment on peut obtenir des schémas d’ordre 2 de façon récursive. Nous présenterons en particulier le schéma de Ninomiya-Victoir qui est un schéma d’ordre 2 nécessitant uniquement la résolution d’équations différentielles ordinaires. Nous utiliserons ensuite ces techniques pour obtenir des schémas de simulation pour des processus affines (carrés de Bessel, processus de Wishart) et des processus à valeurs dans les matrices de corrélation.
Sophie Laruelle (UPMC)
Distance optimale de placement d’ordres limites par algorithme stochastique :
Dans cet exposé, je présenterai une procédure stochastique récursive sous contraintes pour trouver la distance optimale à laquelle un agent doit poster son ordre (limite) pour minimiser son coût d’exécution. Je montrerai la convergence p.s. de l’algorithme sous des hypothèses sur la fonction de coût et donnerai des critères pour les praticiens sur les paramètres du modèle qui assurent la convexité et la décroissance à l’origine de la fonction de coût (utilisant notamment un principe de co-monotonie pour les diffusions unidimensionnelles). J’illustrerai les résultats par des expériences numériques sur des données simulées mais aussi en utilisant des données de marché.
Sebastian Niklitschek-Soto (projet INRIA Tosca)
Discretization of stochastic differential equations with discontinuous drift :
In this work we discretize stochastic differential equations related to one-dimensional partial differential equations of parabolic type involving a discontinuous drift coefficient. We obtained accurate pointwise estimates for the derivatives of these solutions, from which we get convergence rate estimates in the weak sense of the stochastic discretization scheme.
Victor Reutenauer (Citibank)
Stochastic Gradient Optimization Algorithm applied to hedging of interests rates derivatives products with bid-ask spread :
Stochastic Gradient Optimization Algorithm applied to hedging of interests rates derivatives products with bid-ask spread : We will present an application of Robins Monro's algorithm to optimize the expectation of some utility function of the final wealth of the hedging strategy of a derivatives product. This can be applied to give indifference pricing in an incomplete market, for example with bid ask spread. We study a scholar case : hedging a swap with zero coupons bonds for which we present numerical results. We will focus on the way we choose the space where we are looking at the optimal control. We compare our results with the optimal case known without bid ask spread. We discuss how to generalize this method with multiples trading dates using on one hand the mathematical properties of the space of control and the other hand the financial properties of the product to hedge. This is a joint work with Etienne Tanre and Denis Talay. It has been initiated as a collaboration Contract between Inria Tosca Team and Interests Rates And Hybrid Quantitative Research Team of Credit Agricole CIB.