Mas 2012

Journées MAS 2012

Titre de la session :

Inégalités et théorèmes limites via des méthodes de martingales.

Organisateur : Jérôme Dedecker (université Paris-Descartes).

Description de la session : Une différence de martingale de carré intégrable est une variable aléatoire orthogonale à un espace fonctionnel. Cette notion se trouve à mi-chemin entre l’orthogonalité et l’indépendance des variables aléatoires. Elle contient suffisamment d’information pour établir de nombreux théorèmes limites (lois fortes, théorème limite central, approximations fortes, déviations modérées) ainsi que des inégalités (Burkholder, Azuma) pour les martingales, et elle est suffisamment flexible pour qu’on puisse s’y ramener lorsqu’on veut étendre ce type de résultats à des processus plus généraux.

Pour le théorème limite central, cela est exposé de façon lumineuse dans l’article de Gordin (1969) qui s’applique à de très nombreux processus stationnaires, et qui a été par la suite remarquablement raffiné par Maxwell et Woodroofe (2000). Cette approche fonctionne également très bien pour certaines inégalités de moments ou exponentielles : voir par exemple les travaux récents de Peligrad, Utev et Wu (2007).

Dans cette session, on verra plusieurs façon d’utiliser les martingales, pour établir des inégalités de concentration, des inégalités exponentielles pour les sommes partielles, des théorèmes limites dits “quenched”, et pour obtenir des inégalités pour l’estimateur Lasso dans le modèle de Cox.

Références :

  1. M. I. Gordin, The central limit theorem for stationary processes, Soviet Math. Dokl. 10. 1174-1176. (1969).
  2. M. Maxwell et M. Woodroofe (2000), Central limit theorems for additive functionals of Markov chains. Ann. Probab. 28, 713-724.
  3. M. Peligrad, S. Utev et W.-B. Wu (2007), A maximal Lp -inequality for stationary sequences and its applications. Proc. Amer. Math. Soc. 135, 541-550.

Orateurs et titres :

Jean-René Chazottes (école polytechnique, orateur principal) : Inégalités de concentration et systèmes dynamiques.

Résumé : Nous relaterons des travaux faits en collaboration avec Sébastien Gouëzel qui établissent des inégalités de concentration optimales pour des systèmes dynamiques non-uniformément hyperboliques modélisés par des tours de Young. Notre approche consiste en particulier à se ramener à des inégalités de martingales (Azuma-Hoeffding dans le cas de tours avec queues exponentielles et Rosenthal-Burkholder dans le cas polynomial).

Référence :
J.-R. Chazottes, S. Gouëzel, Optimal concentration inequalities for dynamical systems. À paraître dans Commun. Math. Phys. (2012).
Disponible à l’adresse http://arxiv.org/abs/1111.0849.

Xieqan Fan (université de Bretagne sud) : Inégalités de Hoeffding et Freedman pour les surmartingales.

Résumé : Nous donnons une extension de l’inégalité de Hoeffding pour les surmartingales. Notre résultat améliore plusieurs inégalités de Freedman, Bernstein, Prohorov, Bennett et Nagaev. Notre approche est basée sur la technique de distribution conjuguée introduite par Cramér, et est différente de la méthode utilisée dans le document de Hoeffding.

Références

[1]   Azuma, K., 1967. Weighted sum of certain independent random variables. Tohoku Math. J. 19, No. 3, 357–367.

[2]   Bennett, G., 1962. Probability inequalities for the sum of independent random variables, J. Amer. Statist. Assoc. 57, No. 297, 33–45.

[3]   Bernstein, S., 1946. The Theory of Probabilities (Russian). Moscow, Leningrad.

[4]   Courbot, B., 1999. Rates of convergence in the functional CLT for martingales. C. R. Acad. Sci. Paris 328, 509–513.

[5]   Cramér, H., 1938. Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités. Actualite’s Sci. Indust. 736, 5–23.

[6]   De La Peña, V. H., 1999. A general class of exponential inequalities for martingales and ratios. Ann. Probab. 27, No. 1, 537–564.

[7]   Freedman, D. A., 1975. On tail probabilities for martingales. Ann. Probab. 3, No. 1, 100–118.

[8]   Fuk, D. X., 1973. Some probablistic inequalities for martingales. Siberian. Math. J. 14, No. 1, 185–193.

[9]   Hoeffding, W., 1963. Probability inequalities for sums of bounded random variables. J. Amer. Statist. Assoc. 58, 13–30.

[10]   McDiarmid, C., 1989. On the method of bounded differences. Surveys in combi.

[11]   Nagaev, S. V., 1979. Large deviations of sums of independent random variabels. Ann. Probab. 7, No. 5, 745–789.

[12]   Prohorov, Yu. V., 1959. An extremal problem in probability theory. Theor. Probability Appl. 4, 201–203.

Christophe Cuny (école centrale de paris) : TCL quenched par des méthodes d’approximation par martingale.

Résumé : Soit une chaîne de Markov stationnaire, de probabilité invariante m. On cherche à établir si certaines conditions connues, suffisantes pour le TCL annealed (i.e. lorsque la chaîne est initialement distribuée suivant m) sont suffisantes pour le TCL quenched (i.e. lorsque la chaîne est issue de x, choisi suivant m).

Sarah Lemler (université d’Evry) : Empirical Bernstein’s inequality and applications to high-dimensional survival analysis.

Résumé : In this work, we are interested in obtaining a prognostic on the survival time adjusted on the covariates in a high-dimensional setting. Towards this end, we consider a conditional hazard rate function that does not rely on an underlying model. We aim at estimating this conditional hazard rate function by the best approximating Cox’s model. Since we are in high-dimension, we estimate the unknown parameters of the best approximating Cox’s model thanks to the Lasso procedure by minimizing the 1-penalized empirical likelihood. For this Lasso estimator, we establish non-asymptotic oracle inequalities.

The key argument to prove our results is an empirical Bernstein’s inequality for martingales with jumps, where the predictable variation, which is not observable, is replaced by the observable optional variation. This empirical Bernstein’s inequality allows us to define a fully data-driven weighted 1-penalization.

Références

[1]   Antoniadis, A., Fryzlewicz, P. and Letué, F. The Dantzig selector in Cox’s proportional hazards model. Scandinavian Journal of Statistics, Vol.37, 531-552 (2010).

[2]   Bickel, P.J., Ritov, Y. and Tsybakov, A.B. Simultaneous analysis of Lasso and Dantzig selector. Annals of Statistics, Vol.37, No. 4, 1705-1732 (2009).

[3]   Bradic, J., Fan, J. and Jiang, J. Regularization for Cox’s proportional hazards model with NP-dimensionality. The Annals of Statistics, Vol.39, 3092-3120 (2012)

[4]   Gaïffas S. and Guilloux A. High-dimensional additive hazard models and the Lasso. Electronic Journal of Statistics, Vol.6, 522-546 (2011).

[5]   Kong, S. and Nan, B. Non-asymptotic Oracle Inequalities for the High-Dimensional Cox Regression via Lasso. Arxiv preprint arXiv :1204.1992 (2012)

[6]   Massart, P. and Meynet, C. The lasso as an 1-ball model selection procedure. Electronic Journal of Statistics, Vol.5, 669-687 (2011).