Présentation

Dans le contexte de l'intérêt croissant pour les méthodes d'approximation d'ordre élevé pour les applications industrielles, la méthode des différences finies connaît actuellement un regain d'intérêt sous l'impulsion des approches de type "frontière immergée" ou de stratégies de maillages recouvrants.
Dans ce type d'approche, on envisage le traitement de géométries complexes sur des maillages entièrement cartésiens ou bien des maillages multiblocs combinant blocs cartésiens et blocs curvilignes.

Le but de ce workshop est de présenter quelques développements récents sur ces questions, en particulier en mécanique des fluides.
Il est l'occasion de favoriser l'interaction entre mathématiques appliquées et mécanique dans le contexte des méthodes d'ordre elevé en calcul scientifique.

Programme

• 10h00-10h30 Accueil
• 10h30-11h10 Michel Bergmann, Institut de Mathématiques de Bordeaux

  Modélisation et simulations numériques d'écoulements par différences finies et méthode de pénalisation : applications aux nageurs.

  Dans cet exposé nous présenterons une méthode de pénalisation d'ordre deux qui permet de simuler numériquement des écoulements autour de géométries complexes sur grilles cartésiennes. Les équations de Navier-Stokes incompressibles sont discrétisées en espace à l'aide de différences finies (ordre deux) sur une grille collocalisée. Des variables auxiliaires de type « MAC » sont introduites pour supprimer les éventuels modes parasites. La discrétisation temporelle est effectuée avec une méthode de type correction de pression à l'ordre deux. Nous nous intéresserons alors à des applications en deux et trois dimensions relatives à des écoulements autour de structures déformables et éventuellement élastiques (couplage fort « two-way » ). Ces structures seront assimilées à des nageurs autopropulsés de type poissons. Nous parlerons en particulier d'efficacité énergétique et de nage passive dans une allée de Von Karman.

  Support de l'exposé

• 11h10-11h50 Olivier Botella, Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée (LEMTA), Université de Lorraine
  

  La méthode de frontières immergées " LS-STAG" : principe de la discrétisation et application aux écoulements de fluides rhéofuidifiants et viscoélastiques.

  Cet exposé a pour objet de présenter une nouvelle méthode de type ``Immersed Boundary" (IB) pour le calcul d'écoulements visqueux incompressibles en géométries irrégulières.
  Dans les méthodes IB, la grille de calcul n'est pas alignée avec la frontière de la géométrie, et le traitement numérique des cellules fluides qui sont coupées par la frontière irrégulière, appelées les "cut-cells", est un point crucial dans le développement de ces méthodes. Pour résoudre cette question nous présentons une nouvelle méthode IB, appelée méthode "LS-STAG", qui est basée sur la méthode "MAC" pour grilles cartésiennes décalées, et qui est telle que la frontière irrégulière est représentée par sa fonction level-set.
  Nous avons construit une discrétisation novatrice des flux numériques dans les "cut-cells" en imposant que le schéma conserve discrètement les grandeurs globales de l'écoulement telles que la masse, la quantité de mouvement et l'énergie cinétique totale. La discrétisation "LS-STAG" a la propriété de préserver la structure cartésienne à 5 points du stencil, ce qui permet d'obtenir une méthode extrêmement efficace sur le plan du temps de calcul. Nous présenterons l'application de la méthode à des écoulements de fluides rhéofluidifiants et viscoélastiques, en mettant un accent sur la précision globale de la méthode pour ce type d'écoulements et la comparaison avec des résultats expérimentaux.

  Support de l'exposé

• 10h50-12h30 Olivier Marsden, Laboratoire de mécanique des fluides et d'acoustique (LMFA), Ecole Centrale de Lyon

  On the use of High-Order Explicit Finite Differences in bounded aeroacoustic computations.

  High-Order Explicit Finite Differences have been used in CAA since the birth of the field in the 90's. Their main interest lies in the relative ease with which desirable numerical properties can be obtained. Due to their large stencil size however, their use for wall-bounded aeroacoustic problems is not straightforward. In this work approaches adopted in the CAA team at ECL to facilitate complex computations will be presented. These include the resolution of the NS equations in curvilinear coordinates, non-centred differencing and filtering stencils, and interpolation techniques useful for the deployment of chimera techniques. Illustrations involving 2D and 3D noise computations will be provided.

  Support de l'exposé

• 12h30-14h30 Repas libre
• 14h30-15h10 Paola Cinnella, Laboratoire Dynfluid, ENSAM Paris

  High-order Residual-Based Compact schemes on overset grids

  Residual-Based Compact (RBC) schemes have been introduced for some time now to solve the Euler and Navier-Stokes equations on structured meshes. The key concept is a compact approximation scheme that provides high accuracy not for each space derivative treated apart but for the complete residual r, i.e. the sum of all the terms in the governing equations. By construction, RBC schemes are genuinely multidimensional. RBC schemes of high order (order 3, 5 and 7) are shown to possess interesting dissipation and spectral properties, that make them interesting for scale-resolving simulation of compressible flows. To extend these schemes to geometrically complex configurations in Aerodynamics, we develop an overlapping multi-block meshes strategy with high-order interpolations. The interest of overlapping grid strategies is that they may enable the use of Chimera type meshes, including Cartesian blocks, where high-order schemes can be efficiently implemented using the finite difference formulation while preserving their nominal accuracy. Because of the multidimensional stencil of RBC schemes, care must be taken to correctly interpolate grid points situated at the corners of mesh blocks. Results are shown for a variety of compressible flows.

  Support de l'exposé

• 15h10-15h50 Christophe Benoît, ONERA
  

  Mise en oeuvre de schémas de haute précision dans une méthode de maillages recouvrants cartésiens/curvilignes.

  Dans cette présentation, nous nous intéressons à une méthode de partitionnement du domaine de calcul en régions proches corps (discrétisées par des maillages curvilignes strucuturés) et en régions loin des corps (discrétisées par des maillages cartésiens).
  Les deux régions sont en recouvrement et communiquent par des tranferts par interpolation comme ceux utilisés dans la méthode Chimère. Nous présenterons la méthode, ainsi que les différents schémas numériques que nous utilisons pour obtenir une méthode globale d'ordre 3.
  Des résultats sur des cas d'application liés à l'hélicoptère seront présentés.

  Support de l'exposé

• 15h50-16h30 Michel Fournié, Institut de Mathématiques de Toulouse

  Schémas compacts d'ordre élévé dans le domaine de la finance.

  Depuis les années 70 avec les travaux de Black et Scholes qui ont proposé un modèle simple linéaire pour évaluer des produits boursiers, la modélisation dans ce domaine a connu un grand essor.
  Partant de ce modèle, nous présenterons des modèles plus réalistes avec prise en compte de non-linéarité (Black-Scholes non linéaire) et introduction de processus stochastique (modèle de Heston).
  
  Nous verrons comment adapter les schémas compacts d'ordre élevé à ces différents modèles en soulignant les difficultés introduites par chacun d'eux.
  
  Nous présenterons des résultats théoriques de convergence et de stabilité des schémas élaborés avec des simulations numériques mettant en avant les apports de tels schémas.

  Support de l'exposé